Siła Lorentza

Siła Lorentza – siła, jaka działa na cząstkę obdarzoną ładunkiem elektrycznym, poruszającą się w polu elektromagnetycznym^[1]. Wzór podany został po raz pierwszy przez Hendrika Lorentza i dlatego nazwano go jego nazwiskiem.

Wzór określa, jak siła działająca na ładunek zależy od pola elektrycznego i pola magnetycznego (składników pola elektromagnetycznego):

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

gdzie:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$ – wektor siły (w niutonach),
• ${\displaystyle q}$ – ładunek elektryczny cząstki (w kulombach),
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$ – wektor natężenia pola elektrycznego (w woltach/metr),
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$ – pseudowektor indukcji magnetycznej (w teslach),
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ – wektor prędkości cząstki (w metrach na sekundę),
• ${\displaystyle \times }$ – iloczyn wektorowy.

W przypadku, gdy terminem „siła Lorentza” określa się tylko samą składową magnetyczną tej siły^[2], wzór na jej obliczanie zredukuje się do formuły następującej:

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$

Dla ośrodków ciągłych ładunek elektryczny wyraża się poprzez jego gęstość ${\displaystyle \rho ,}$ a natężenie prądu przez gęstość prądu ${\displaystyle \mathbf {J} ,}$ wówczas:

${\displaystyle \mathbf {F} =\int \limits _{V}(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )dV.}$

Składowa magnetyczna siły Lorentza dla przewodników z prądem nazywana jest siłą elektrodynamiczną.

Czterowektor siły Lorenzta w elektrodynamice klasycznej jest określony według wzoru:

${\displaystyle K^{\mu }=-qu_{\nu }F^{\mu \nu }=qu_{\nu }F^{\nu \mu },}$

(1)

gdzie:

• ${\displaystyle q}$ ładunek cząstki, na którą działa pole elektromagnetyczne,
• ${\displaystyle u_{\nu }=\eta _{\nu \mu }u^{\mu }}$ jest to kowariantny czterowektor prędkości,
• ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ jest to tensor pola elektromagnetycznego,
• ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ jest to tensor metryczny Minkowskiego, przyjęliśmy tutaj sygnaturę tensora metrycznego Minkowskiego w postaci ${\displaystyle (1,-1,-1,-1),}$ bowiem przy sygnaturze przeciwnej, tzn.: ${\displaystyle (-1,1,1,1),}$ mamy wzór czterwektora siły w postaci:

${\displaystyle K^{\mu }=qu_{\nu }F^{\mu \nu }.}$

(2)

Wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego można obliczyć część czasową i przestrzenną czterowektora siły w elektrodynamice klasycznej, zatem po wywodach mamy:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {F}}}{E}}\gamma ,{\frac {\gamma }{c}}{\vec {F}}\right),}$

(3)

gdzie:

• ${\displaystyle {\vec {F}}}$ jest to wektor siły Lorentza,
• ${\displaystyle {\vec {p}}}$ jest to wektor pędu cząstki,
• ${\displaystyle E}$ jest to całkowita relatywistyczna energia cząstki,
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ jest to definicja współczynnika ${\displaystyle \gamma ,}$

gdzie:

• ${\displaystyle v}$ jest to szybkość cząstki,
• ${\displaystyle c}$ jest to prędkość fal elektromagnetycznych w szczególności światła.

Powyższa definicja czterowektora siły w elektrodynamice klasycznej jest zgodna (taka sama) w szczególnej teorii względności.

Zależność między siłą a pędem pozostaje prawdziwa również dla cząstek relatywistycznych:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}},}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\left(\gamma m\mathbf {v} \right)}{dt}}=m{\frac {d\left(\gamma \mathbf {v} \right)}{dt}}.}$

Siłę Lorentza w szczególnej teorii względności opisuje zależność:

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\left(\gamma \mathbf {v} \right)}{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

gdzie:

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

jest czynnikiem Lorentza, ${\displaystyle v}$ – prędkością cząstki, a ${\displaystyle c}$ to prędkość światła w próżni.

Szybkość zmiany energii (moc) wywołana ruchem cząstki w stałym polu wynosi:

${\displaystyle {\frac {d\left(\gamma mc^{2}\right)}{dt}}=q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} .}$

Oznacza to, że tylko pole elektryczne wykonuje pracę.

Ruch cząsteczki w polu o zmiennym natężeniu musi uwzględniać zjawisko powstawania pola elektrycznego w wyniku zmian pola magnetycznego i powstawania pola magnetycznego w wyniku zmian pola elektrycznego.

• efekt Halla (klasyczny)
• trzecia siła

• David J. Griffths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

• Lorentz force (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .
• Animacja siły Lorentza. bigs.de. .