Filozofia matematyki

Wygląd przypnij ukryj

Filozofia matematyki – dział filozofii.

Wśród zagadnień filozoficznych związanych z matematyką można wyróżnić dwa główne bloki problemowe:

• ontologiczny, tj. zagadnień istnienia, sposobów i kryteriów istnienia i natury bytów matematycznych;
• epistemologiczny, tj. zagadnień natury poznania matematycznego, granic poznania matematycznego i kryteriów prawdziwości poznania matematycznego.

Główne koncepcje

Początkiem sporu o naturę obiektów matematycznych była platońska koncepcja idei, którym Platon przypisał istnienie realne – stanowisko to stało się początkiem skrajnego realizmu pojęciowego. Przeciw Platonowi wystąpił Arystoteles, którego poglądy stały się początkiem umiarkowanego realizmu pojęciowego. W średniowieczu spór o sposób istnienia pojęć rozgorzał na nowo jako spór o uniwersalia – wykształciło się w nim nowe stanowisko, nominalizm, w ostatnich wiekach epoki dominujące. Wprawdzie filozofia starożytna i średniowieczna zajmowała się sporem o status ontyczny wszelkich pojęć, a nie tylko obiektów matematycznych, niemniej współczesne stanowiska w kwestii bytów matematycznych są zbliżone, a realizm pojęciowy i nominalizm nadal stanowią jedne z głównych stanowisk w filozofii matematyki. Jako samodzielny dział filozofia matematyki rozwinęła się dopiero pod koniec XIX w. dzięki zaistniałemu w tym okresie rozwojowi formalnych metod logiki.

Według realizmu (nazywanego dla odróżnienia od innych stanowisk filozoficznych noszących tę nazwę antynominalizmem) uniwersalia istnieją realnie i niezależnie od egzemplifikujących je rzeczy. W filozofii matematyki analogicznie realiści twierdzą, że obiekty matematyczne to realnie istniejące lub skonstruowane poznawczo przedmioty abstrakcyjne. Realizm skrajny, zwany też platonizmem (w węższym znaczeniu) mówi, że obiekty matematyczne są pozaczasowymi, rzeczywistymi i obiektywnymi bytami, w przeciwieństwie do czasowych, przemijalnych i nie posiadających pełni istnienia przedmiotów zmysłowych i zjawisk.

Konstruktywizm w filozofii matematyki (nawiązujący do dawnego konceptualizmu w sporze o uniwersalia) obejmuje różne kierunki w filozofii matematyki, których cechą wspólną jest żądanie ograniczenia się do rozpatrywania wyłącznie obiektów matematycznych konstruowalnych i do operacji konstruktywnych. Kierunki te różnią się sposobem rozumienia pojęcia konstruowalności (jednym z nich jest postulat wykonywalności w skończonej liczbie kroków). Jednym z najlepiej rozwiniętych kierunków konstruktywistycznych jest intuicjonizm.

Nominalizm, który zarysował się w starożytności na gruncie rozważań na temat logiki Arystotelesa i jego komentatorów, zaczął przybierać dojrzałą postać w XII w. (Abelard, Roscelin), w pełni rozwinął się jednak dopiero w wieku XIV William Ockham. Nominaliści uważają, że pojęcia ogólne nie istnieją samodzielnie, są to tylko czyste nazwy (flatus vocis). Realiści przyjęli liberalne kryterium istnienia bytów matematycznych – obiekt matematyczny istnieje, jeśli nie jest wewnętrznie sprzeczny. Konstruktywiści przyjęli stanowisko rygorystyczne – kryterium istnienia obiektu matematycznego jest istnienie metody jego konstrukcji.

Trzy główne XX-wieczne stanowiska w filozofii matematyki są rozbudowanymi wersjami stanowisk dawniejszych – formalizm nawiązuje do nominalizmu, intuicjonizm do konceptualizmu, logicyzm do skrajnego realizmu pojęciowego.

Według formalistów przedmiotem badań matematycznych są teorie dające się wyprowadzić w określony sposób z pewnych założonych zdań logicznych, zwanych aksjomatami. Aksjomaty są zapisywane w sformalizowanym języku danej teorii, mającym ściśle określony system znaków i reguł służących do ich przekształcania. Zdania teorii ujmuje się jako niezinterpretowane serie symboli. Nie postuluje się istnienia rozpatrywanych obiektów.

Intuicjoniści głoszą, że cała matematyka może być oparta na pierwotnej intuicji ciągu liczb naturalnych oraz na uznawanej za intuicyjną zasadzie indukcji. Dopuszcza się wyłącznie konstrukcyjne dowody istnienia. Według intuicjonistów aktywność matematyczna umysłu ludzkiego ma charakter twórczy – konstruuje on obiekty matematyczne, nie odkrywa. Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym istnienia, ale nie warunkiem wystarczającym – byt matematyczny musi oprócz tego zostać skonstruowany. Intuicjoniści dokonują także reformy metodologii logiki formalnej uznając, że źródłem antynomii w matematyce jest brak oparcia w pierwotnych intuicjach, związany z nieuprawnionym przeniesieniem intuicji o przedmiotach skończonych na przedmioty nieskończone, posługiwaniem się nieostrymi terminami logiki klasycznej (głównie kwantyfikatorami ogólnymi) i przyjmowaną w logice klasycznej zasadą wyłączonego środka. Intuicjonizm w filozofii matematyki wywarł duży wpływ na ogólną problematykę ontologiczną, zwłaszcza filozofię Michaela Dummetta.

Logicyzm głosi, że wszystkie twierdzenia matematyki można, posługując się definicjami i regułami logicznymi, zredukować do logiki. Głównymi twórcami klasycznych wersji logicyzmu są Gottlob Frege i Bertrand Russell.

Główne stanowiska epistemologiczne w filozofii matematyki odpowiadają głównym kierunkom epistemologii. Empiryzm uznaje zdania matematyki za zdania empiryczne, aprioryzm za zdania analityczne a priori. Według konwencjonalistów aksjomaty matematyki mają charakter odgórnie przyjętej konwencji.

Przypisy

1. ↑ filozofia matematyki, Encyklopedia PWN  .
2. ↑ R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, cz.II.
3. ↑ R. Murawski (red.), Współczesna filozofia matematyki. Wybór tekstów, s. 13, 22.
4. ↑ A. Mostowski, Matematyka a logika, Wiadomości Matematyczne t. XXV, s. 81.

Bibliografia

• Roman Murawski: Filozofia matematyki. Zarys dziejów. Wyd. 5. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2013. ISBN 978-83-232-2405-1.brak strony w książce
• Filozofia matematyki: antologia tekstów klasycznych, wybór, przekład i komentarze Roman Murawski, wyd. 3, Poznań: Wyd. Nauk. UAM, 2003. ISBN 83-232-1239-2.
• Współczesna filozofia matematyki. Wybór tekstów, wybór, przekład i komentarze Roman Murawski, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002. ISBN 83-01-13928-5.

Linki zewnętrzne

Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.) :

• LeonL. Horsten LeonL., Philosophy of Mathematics, 26 września 2017 . (Filozofia matematyki)
• MarkM. Colyvan MarkM., Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics, 28 lutego 2019 . (Argumenty z konieczności w filozofii matematyki)
• MarkM. Balaguer MarkM., Fictionalism in the Philosophy of Mathematics, 23 lipca 2018 . (Fikcjonalizm w filozofii matematyki)
• ErichE. Reck ErichE., GeorgG. Schiemer GeorgG., Structuralism in the Philosophy of Mathematics, 18 listopada 2019 . (Strukturalizm w filozofii matematyki)
• JeremyJ. Gray JeremyJ., Epistemology of Geometry, 31 lipca 2017 . (Epistemologia geometrii)

Artykuły na Internet Encyclopedia of Philosophy (ang.) :

• MaryM. Leng MaryM., Fictionalism in the Philosophy of Mathematics .
• Julian C.J.C. Cole Julian C.J.C., Mathematical Platonism .
• StewartS. Shapiro StewartS., Mathematical Structuralism .

Działy filozofii

ogólne	ontologia metafizyka epistemologia ewolucyjna aksjologia estetyka etyka bioetyka etyka normatywna etyka opisowa metaetyka neuroetyka logika logika filozoficzna
szczegółowe	antropologia filozoficzna filozofia miłości filozofia seksu filozofia kultury filmu języka religii filozofia nauki matematyki fizyki medycyny ekonomii filozofia społeczna historii polityki wojny i pokoju prawa epistemologia prawa filozofia techniki sztucznej inteligencji filozofia umysłu neurofilozofia neuroetyka inne filozofia przyrody kosmologia filozoficzna metafilozofia
powiązane dyscypliny	nauki społeczne historia filozofii historia logiki kulturoznawstwo gender studies naukoznawstwo religioznawstwo nauki prawne inne kognitywistyka teologia

Podstawy matematyki

logika matematyczna	algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów
metamatematyka	metalogika
teoria mnogości	opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF
teoria obliczeń	teoria obliczalności teoria złożoności
inne	teoria kategorii filozofia matematyki

Działy matematyki

działy ogólne	według trudności matematyka elementarna matematyka wyższa według celu matematyka czysta matematyka stosowana inne matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka
działy czyste	algebra elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji analiza matematyczna analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału arytmetyka elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit geometria absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna matematyka dyskretna kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna podstawy logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności teoria układów dynamicznych teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna topologia algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru pozostałe K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego
działy stosowane	nauki przyrodnicze biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna nauki społeczne ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań nauki techniczne kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania statystyka matematyczna rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji inne teoria gier teoria decyzji
powiązane dyscypliny	ściśle naukowe dydaktyka matematyki historia matematyki inne filozofia matematyki matematyka rekreacyjna numerologia pseudomatematyka

Kontrola autorytatywna (gałąź filozofii):

• LCCN: sh85082153
• NKC: ph135376
• J9U: 987007555881905171
• LNB: 000203780

Encyklopedia internetowa:

• Britannica: science/philosophy-of-mathematics
• Treccani: la-seconda-rivoluzione-scientifica-introduzione-filosofia-e-pratica-matematica_(Storia-della-Scienza)
• Universalis: epistemologie-de-la-mathematique
• SEP: philosophy-mathematics