Analiza zespolona

Wygląd przypnij ukryj

Wykres funkcji f ( z ) = ( z 2 − 1 ) ( z − 2 − i ) 2 ( z 2 + 2 + 2 i ) {\displaystyle f(z)={\frac {(z^{2}-1)(z-2-i)^{2}}{(z^{2}+2+2i)}}}

f(z)={\frac {(z^{2}-1)(z-2-i)^{2}}{(z^{2}+2+2i)}}

w biegunowym układzie współrzędnych. Argument jest reprezentowany poprzez odcień, a moduł za pomocą jasności i nasycenia.

Analiza zespolona – dział analizy matematycznej badający funkcje zespolone zmiennej zespolonej, jednej lub wielu.

Od czasu swojej genezy – datowanej najpóźniej na XIX wiek – znalazła zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, teorii przestrzeni Hilberta i matematyce stosowanej, np. w pewnych dziedzinach fizyki matematycznej.

Podstawowe pojęcia

W analizie zespolonej kluczową rolę odgrywają:

Dla funkcji zespolonych, podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, definiuje się pojęcia granicy funkcji, ciągłości, ciągłości jednostajnej i różniczkowalności.

Zdarza się jednak, że wprowadzenie analogicznej definicji pewnego pojęcia dla funkcji zespolonych, jak dla rzeczywistych, niesie ze sobą daleko idące konsekwencje. Na przykład: jeśli D {\displaystyle D} $D$ jest obszarem oraz funkcja f {\displaystyle f} $f$ ma w tym obszarze ciągłą pochodną (jest klasy C 1 {\displaystyle C^{1}} $C^{1}$ ), to ma w tym obszarze wszystkie pochodne (jest klasy C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} $C^{\infty }$ ). Dla funkcji zespolonych łatwiej podać, niż w przypadku funkcji rzeczywistych (piła Weierstrassa), przykład funkcji wszędzie ciągłej i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie: funkcja sprzężenia f ( z ) = z ¯ {\displaystyle f(z)={\overline {z}}} $f(z)={\overline {z}}$ jest ciągła w każdym punkcie z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } $z\in \mathbb {C}$ i nieróżniczkowalna w żadnym z nich.

Ważnymi pojęciami analizy zespolonej są także:

Twierdzenia

Rozwój

Formalnie funkcjami zmiennych zespolonych są działania arytmetyczne na nich, rozważane od czasu pojawienia się tej koncepcji w XVI wieku. Przez to na dziedzinę zespoloną można uogólnić wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki stopnia wymiernego, inne pierwiastniki oraz pozostałe funkcje algebraiczne. Za pomocą szeregów Taylora można tak uogólnić też część innych, przestępnych funkcji elementarnych jak te wykładnicze, hiperboliczne, logarytmy, funkcje trygonometryczne czy kołowe. Rozważano to najpóźniej w XVIII wieku – robił to Leonard Euler, otrzymując zależności istotne także dla innych dziedzin matematyki. W następnym stuleciu podstawy systematycznej analizy zespolonej – oparte na rygorze – zbudowali Augustin Cauchy, Bernhard Riemann i Karl Weierstrass. W XXI wieku powstały nowe czasopisma naukowe poświęcone tej dziedzinie, a na niektórych uczelniach ma ona osobne katedry .

Przypisy

↑ Complex Analysis and Operator Theory .
↑ Katedra Analizy Zespolonej, Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie, wmii.uwm.edu.pl .

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complex Analysis, MathWorld, Wolfram Research (ang.). .

Działy analizy matematycznej

podstawowe	analiza rzeczywista rachunek różniczkowy i całkowy analiza wielowymiarowa analiza wektorowa
zaawansowane	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza wypukła analiza zespolona rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
powiązane dyscypliny	algebra różniczkowa różniczkowa teoria Galois analityczna teoria liczb geometria różniczkowa topologia różniczkowa

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji

powiązane
dyscypliny

ściśle naukowe	dydaktyka matematyki historia matematyki
inne	filozofia matematyki matematyka rekreacyjna numerologia pseudomatematyka

Kontrola autorytatywna (dziedzina matematyki):

Encyklopedia internetowa: