Topologia różniczkowa

Wygląd przypnij ukryj

Topologia różniczkowa – dział topologii korzystający z pojęć i metod analizy matematycznej; zajmuje się zwłaszcza rozmaitościami różniczkowymi i różniczkowymi odwzorowaniami, w szczególności dyfeomorfizmami, zanurzeniami różniczkowymi i wiązkami wektorowymi.

Ewolucja dyscypliny

Pierwszych prób skonstruowania topologii na bazie rozmaitości, odwzorowań i form różniczkowych dokonał H. Poincare w końcu XIX wieku. Systematyczne zbudowanie topologii różniczkowej było jednak możliwe dopiero w 30. latach XX wieku. Właśnie wtedy narodziła się nazwa tej dyscypliny, choć upowszechniła się dekady później.

W latach 50. odkryto różne struktury gładkie na sferze i sklasyfikowano rozmaitości homotopijnie równoważne sferze. Udowodniono również uogólnioną hipotezę Poincare, rozwiązano problem znajdowania pełnego układu niezmienników wszystkich rozmaitości jednospójnych (wymiaru nie mniejszego niż 5).

W latach 60. metodami topologii różniczkowej rozwiązano wiele problemów:

• topologicznej niezmienniczości klas charakterystycznych rozmaitości rzeczywistych,
• związku między rozmaitościami różniczkowymi, kawałkami liniowymi i topologicznymi,
• uogólnienia na rozmaitości niejednospójne metod klasyfikacji rozmaitości gładkich.

Powstała algebraiczna i hermitowska K-teoria. Dla rozmaitości niejednospójnych odkryto związki między klasami charakterystycznymi i formami hermitowskimi nad grupą fundamentalną rozmaitości a jej homologiami. Wtedy też nazwa topologii różniczkowej stała się powszechna.

W latach 70. zaczęto wykorzystywać metody topologii różniczkowej w fizyce matematycznej w teoriach cząstek elementarnych, ciekłych kryształów i przejść fazowych (w niskotemperaturowym nadciekłym helu).

Przypisy

1. ↑ topologia różniczkowa, Encyklopedia PWN  .
2. ↑ a b c d e И.М.Виногpaдoв (red.): Maтемaтичеcкaя энциклопедия. Mocквa: Coвeтскaя энциклопедия, 1979, s. 260-261. (ros.).
3. ↑ a b Jeff Miller, Differential topology Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk .

Linki zewnętrzne

• Differential topology (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, .

Działy matematyki

działy ogólne	według trudności matematyka elementarna matematyka wyższa według celu matematyka czysta matematyka stosowana inne matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka
działy czyste	algebra elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji analiza matematyczna analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału arytmetyka elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit geometria absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna matematyka dyskretna kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna podstawy logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności teoria układów dynamicznych teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna topologia algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru pozostałe K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego
działy stosowane	nauki przyrodnicze biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna nauki społeczne ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań nauki techniczne kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania statystyka matematyczna rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji inne teoria gier teoria decyzji
powiązane dyscypliny	ściśle naukowe dydaktyka matematyki historia matematyki inne filozofia matematyki matematyka rekreacyjna numerologia pseudomatematyka

Kontrola autorytatywna (dziedzina matematyki):

• LCCN: sh85037923
• NDL: 00560653
• BnF: 13163036q
• BNCF: 46907
• NKC: ph119448
• J9U: 987007552908005171

Encyklopedia internetowa:

• Britannica: topic/differential-topology