Teoria miary

Dzisiaj Teoria miary jest tematem o dużym znaczeniu i zainteresowaniu dużej liczby ludzi na całym świecie. Niezależnie od tego, czy ze względu na wpływ na społeczeństwo, wpływ na codzienne życie ludzi, czy też znaczenie w branży zawodowej, Teoria miary jest tematem, który nie pozostawia nikogo obojętnym. W tym artykule szczegółowo zbadamy różne aspekty i perspektywy związane z Teoria miary, analizując jego ewolucję w czasie, jego wpływ w różnych obszarach i możliwe przyszłe konsekwencje, jakie może mieć. Od swoich początków do chwili obecnej Teoria miary był przedmiotem debat i badań, a w poniższych wierszach postaramy się rzucić światło na ten ekscytujący temat.

Teoria miary, teoria miary i całki^{[potrzebny przypis]} – dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów^[1]. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.

Za początek tej dziedziny uważa się rok 1902, gdy Henri Lebesgue podał konstrukcję całki opartej na rozszerzeniu dotychczas stosowanego pojęcia miary^{[potrzebny przypis]}.

Najczęściej mierzy się podzbiory przestrzeni euklidesowych. Jednak niektórym „nieporządnym” podzbiorom przestrzeni euklidesowych (czy innych) nie można przypisać "miary" (tj. wielkości liczbowych) w spójny sposób. Klasycznym przykładem jest tzw. zbiór Vitalego. Dlatego przyjęto, iż miara musi być ograniczona do podzbiorów „porządnych”, tj. należących do tzw. przestrzeni mierzalnej określonej na danej przestrzeni. (Jeśli dana przestrzeń jest przestrzenią topologiczną, to zwykle wymaga się, by mierzalne były zbiory otwarte; wówczas do zbiorów mierzalnych należą m.in. zbiory borelowskie.)

Rozwój teorii miary pozostaje w ścisłym związku z rozwojem rachunku prawdopodobieństwa: w 1933 r. Kołmogorow sformułował aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, zastępując klasyczną definicję Laplace'a i definicję częstościową Misesa (zob. prawdopodobieństwo). W interpretacji Kołmogorowa zdarzenia losowe są podzbiorami pewnej przestrzeni probabilistycznej, a prawdopodobieństwo jest miarą określoną na tej przestrzeni (miarą prawdopodobieństwa).

Zobacz też

algebra Boole’a

Przypisy

↑ Miary teoria, Encyklopedia PWN , Wydawnictwo Naukowe PWN .

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Measure Theory, MathWorld, Wolfram Research (ang.). .
Geometric measure theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .
Grant Sanderson, Music And Measure Theory, kanał 3blue1brown na YouTube, 4 października 2015 .

Działy analizy matematycznej

podstawowe	analiza rzeczywista rachunek różniczkowy i całkowy analiza wielowymiarowa analiza wektorowa
zaawansowane	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza wypukła analiza zespolona rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
powiązane nauki	algebra różniczkowa różniczkowa teoria Galois analityczna teoria liczb geometria różniczkowa topologia różniczkowa

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy matematyki	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa algebra zbiorów arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka teoria odnowy rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktów stałych

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka opisowa statystyka nieparametryczna statystyka stosowana teoria estymacji
inne	teoria gier kombinatoryczna teoria decyzji

powiązane
zajęcia

ściśle naukowe	dydaktyka matematyki historia matematyki
pseudonaukowe	numerologia pseudomatematyka
inne	filozofia matematyki matematyka rekreacyjna