Równania Maxwella

Wygląd przypnij ukryj James Clerk Maxwell

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

Z równań Maxwella można wyprowadzić między innymi równania falowe fali elektromagnetycznej oraz wyznaczyć prędkość takiej fali propagującej (rozchodzącej się) w próżni (prędkość światła).

Historia

Najważniejsze kroki do powstania i akceptacji równań Maxwella  :

Sformułowanie

Postać całkowa

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

Prawo to wiąże zmienne pole magnetyczne z indukowanym przez nie polem elektrycznym:

∮ L E → ⋅ d l → = − d Φ B d t , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi _{B}}{{\text{d}}t}},}

rozpisując strumień pola magnetycznego:

∮ L E → ⋅ d l → = − d d t ∫ S B → ⋅ d s → , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{S}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}},}

gdzie:

E → {\displaystyle {\vec {E}}} – natężenie pola elektrycznego, L {\displaystyle L} – dowolny zamknięty kontur, Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} – strumień indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię S {\displaystyle S} rozpiętą na konturze L , {\displaystyle L,} B → {\displaystyle {\vec {B}}} – indukcja pola magnetycznego.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej (cyrkulacja) z natężenia pola elektrycznego jest równa minus pochodnej po czasie (szybkości zmian) strumienia pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Uogólnione prawo Ampère’a

Prawo to wiąże indukcję pola magnetycznego z wywołującymi je prądem elektrycznym oraz zmiennym polem elektrycznym:

∮ L B → ⋅ d l → = μ I + μ ε d Φ E d t , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=\mu I+\mu \varepsilon {\frac {{\text{d}}\Phi _{E}}{{\text{d}}t}},}

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego:

∮ L B → ⋅ d l → = μ I + μ ε d d t ∫ S E → ⋅ d s → , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=\mu I+\mu \varepsilon {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{S}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}},}

gdzie:

L {\displaystyle L} – dowolny zamknięty kontur, I {\displaystyle I} – całkowity prąd elektryczny przepływający przez dowolną powierzchnię S {\displaystyle S} rozpiętą na konturze L , {\displaystyle L,} Φ E {\displaystyle \Phi _{E}} – strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię, μ {\displaystyle \mu } – przenikalność magnetyczna ośrodka, ε {\displaystyle \varepsilon } – przenikalność elektryczna ośrodka.

Całka po dowolnej krzywej zamkniętej z indukcji pola magnetycznego jest równa sumie

Prawo Gaussa dla elektryczności

Prawo Gaussa wiąże strumień pola elektrycznego z ładunkiem wytwarzającym to pole:

ε Φ E = q , {\displaystyle \varepsilon \Phi _{E}=q,}

rozpisując wyrażenie na strumień pola elektrycznego

ε ∮ S E → ⋅ d s → = q , {\displaystyle \varepsilon \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=q,}

gdzie:

Φ E {\displaystyle \Phi _{E}} – strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S , {\displaystyle S,} q {\displaystyle q} – całkowity ładunek zawarty wewnątrz tej powierzchni.

Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą przemnożony przez przenikalność elektryczną ośrodka jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Prawo to stwierdza, że pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne:

Φ B = 0 , {\displaystyle \Phi _{B}=0,}

rozpisując wyrażenie na strumień pola magnetycznego:

∮ S B → ⋅ d s → = 0 , {\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=0,}

gdzie:

Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} – strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S . {\displaystyle S.}

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru.

Postać różniczkowa

Równania Maxwella w postaci całkowej wiążą pole elektryczne i magnetyczne na rozciągłych krzywych i powierzchniach. Przechodząc do granicy małych wymiarów można otrzymać je w postaci różniczkowej, wiążącej pole elektryczne i magnetyczne w każdym punkcie przestrzeni. Formalnie najprościej przechodzić pomiędzy postaciami różniczkowymi i całkowymi, wykorzystując twierdzenia Stokesa oraz Gaussa-Ostrogradskiego.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

W obszarze, w którym istnieje zmienne pole magnetyczne, powstaje pole elektryczne:

∇ × E → = − ∂ B → ∂ t , {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}},}

gdzie:

∇ × {\displaystyle \nabla \times } – operator rotacji. Uogólnione prawo Ampère’a

Źródłem pola magnetycznego może być płynący prąd elektryczny oraz zmieniające się w czasie pole elektryczne:

∇ × B → = μ j → + μ ε ∂ E → ∂ t , {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {j}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial {t}}},}

gdzie:

j → {\displaystyle {\vec {j}}} – gęstość prądu elektrycznego. Prawo Gaussa dla elektryczności

Wiąże pole elektryczne z gęstością ładunku wytwarzającego to pole:

ε ∇ ⋅ E → = ρ , {\displaystyle \varepsilon \nabla \cdot {\vec {E}}=\rho ,}

gdzie:

∇ {\displaystyle \nabla } – operator dywergencji, ρ {\displaystyle \rho } – gęstość ładunku elektrycznego. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Nie ma „ładunków (monopoli) magnetycznych”, które mogłyby być źródłem pola magnetycznego:

∇ ⋅ B → = 0. {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0.}

Podsumowanie

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny równania
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
∇ × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}} ∮ L E → ⋅ d l → = − d Φ B d t , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi _{B}}{{\text{d}}t}},}
gdzie Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} – strumień magnetyczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L 		Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella
∇ × B → = μ j → + μ ε ∂ E → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {j}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial {t}}}} ∮ L B → ⋅ d l → = μ I + μ ε d Φ E d t , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=\mu I+\mu \varepsilon {\frac {{\text{d}}\Phi _{E}}{{\text{d}}t}},}
gdzie Φ E {\displaystyle \Phi _{E}} – strumień elektryczny przez dowolny kontur rozpięty na krzywej L, a I {\displaystyle I} – całkowity prąd elektryczny przecinający ten kontur 		Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności
ε ∇ ⋅ E → = ρ {\displaystyle \varepsilon \nabla \cdot {\vec {E}}=\rho } ε ∮ S E → ⋅ d S → = q , {\displaystyle \varepsilon \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {S}}=q,}
gdzie q {\displaystyle q} – całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni S {\displaystyle S} 		Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0} ∮ S B → ⋅ d S → = 0 {\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {S}}=0} Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Postać z wektorami H i D

Niekiedy do opisu pola elektrycznego i magnetycznego wprowadza się wektory indukcji elektrycznej (przesunięcia dielektrycznego) D → {\displaystyle {\vec {D}}} oraz natężenia pola magnetycznego H → {\displaystyle {\vec {H}}} określone przez:

D → = ε E → , {\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}},} B → = μ H → . {\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}.}

Równania Maxwella formułuje się wtedy, wydzielając z ładunku tak zwany ładunek swobodny, nie uwzględniający ładunków będących rezultatem polaryzacji dielektryka, a z prądów odpowiednio „prąd ładunków swobodnych” nie uwzględniający prądu polaryzacji. Równania Maxwella przyjmują postać:

Postać różniczkowa Postać całkowa Sens fizyczny
1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
∇ × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}} ∮ L E → ⋅ d l → = − d Φ B d t {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi _{B}}{{\text{d}}t}}} Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella
∇ × H → = j → s w + ∂ D → ∂ t , {\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {j}}_{\mathrm {sw} }+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial {t}}},}
gdzie j → s w {\displaystyle {\vec {j}}_{\mathrm {sw} }} – gęstość prądu ładunków swobodnych. 		∮ L H → ⋅ d l → = I s w + d Φ D d t , {\displaystyle \oint \limits _{L}{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {l}}=I_{\mathrm {sw} }+{\frac {{\text{d}}\Phi _{D}}{{\text{d}}t}},}
gdzie Φ D {\displaystyle \Phi _{D}} – strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze L , {\displaystyle L,} I s w {\displaystyle I_{\mathrm {sw} }} – prąd ładunków swobodnych przepływających przez tę powierzchnię. 		Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
3. Prawo Gaussa dla elektryczności
∇ ⋅ D → = ρ s w , {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{\mathrm {sw} },}
gdzie ρ s w {\displaystyle \rho _{\mathrm {sw} }} – gęstość ładunku swobodnego. 		Φ D = ∮ S D → ⋅ d s → = q s w , {\displaystyle \Phi _{D}=\oint \limits _{S}{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=q_{\mathrm {sw} },}
gdzie Φ D {\displaystyle \Phi _{D}} – strumień indukcji elektrycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą; q s w {\displaystyle q_{\mathrm {sw} }} – ładunek swobodny zawarty wewnątrz tej powierzchni. 		Ładunki są źródłem pola elektrycznego.
4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0} Φ B = ∮ S B → ⋅ d s → = 0 {\displaystyle \Phi _{B}=\oint \limits _{S}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=0} Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

W układzie CGS

Układ jednostek CGS jednoznacznie definiuje jednostki mechaniczne, natomiast istnieje kilka konwencji uzupełniania go o jednostki elektrodynamiczne. W każdym z takich przypadków równania Maxwella będzie zapisywało się nieco inaczej (najpopularniejszy jest układ CGS Gaussa).

1. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya 2. Prawo Ampère’a rozszerzone przez Maxwella 3. Prawo Gaussa dla elektryczności 4. Prawo Gaussa dla magnetyzmu
W układzie CGS w wersji Gaussa
∇ × E → = − 1 c ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ∇ × B → = 1 c ∂ E → ∂ t + 4 π c J → {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}} ∇ ⋅ E → = 4 π ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=4\pi \rho } ∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}
W elektrostatycznym układzie CGS (es-CGS, ESU, stat-CGS)
∇ × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ∇ × B → = 1 c 2 ∂ E → ∂ t + 4 π c 2 J → {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c^{2}}}{\vec {J}}} ∇ ⋅ E → = 4 π ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=4\pi \rho } ∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}
W elektromagnetycznym układzie CGS (em-CGS, EMU, ab-CGS)
∇ × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ∇ × B → = 1 c 2 ∂ E → ∂ t + 4 π J → {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{4\pi }{\vec {J}}} ∇ ⋅ E → = 4 π c 2 ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=4\pi c^{2}\rho } ∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}
W układzie CGS w wersji Lorenza-Heaviside’a
∇ × E → = − 1 c ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ∇ × B → = 1 c ∂ E → ∂ t + 1 c J → {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {1}{c}}{\vec {J}}} ∇ ⋅ E → = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=\rho } ∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}

Szczególne przypadki

W ośrodkach liniowych

W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna i magnetyczna jest tensorem, czasami zależnymi od natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej. Ale w większości przypadków materiały są izotropowe wówczas ε {\displaystyle \varepsilon } i μ {\displaystyle \mu } są skalarami (liczbami), wówczas równania Maxwella przyjmują uproszczoną postać.

∇ ⋅ ε E → = ρ , {\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon {\vec {E}}=\rho ,} ∇ ⋅ B → = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0,} ∇ × E → = − ∂ B → ∂ t , {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},} ∇ × B → / μ = j → + ε ∂ E → ∂ t . {\displaystyle \nabla \times {{\vec {B}}/\mu }={\vec {j}}+\varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.}

W próżni

Próżnia jest ośrodkiem liniowym, izotropowym. Przenikalność elektryczną próżni oznacza się przez ε 0 , {\displaystyle \varepsilon _{0},} a przenikalność magnetyczną próżni przez μ 0 . {\displaystyle \mu _{0}.} W próżni nie ma ładunków ( ρ = 0 ) {\displaystyle (\rho =0)} i nie płynie prąd ( j = 0 ) . {\displaystyle (j=0).} Wówczas równania Maxwella upraszczają się do postaci:

∇ ⋅ E → = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=0,} ∇ ⋅ B → = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0,} ∇ × E → = − ∂ B → ∂ t , {\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},} ∇ × B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t . {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.}

Z równań tych wynika, że w próżni zmieniające się pole elektryczne wywołuje zmienne wirowe pole magnetyczne, a zmieniające się pole magnetyczne wywołuje zmienne wirowe pole elektryczne. Zmiany te w postaci fali elektromagnetycznej rozchodzą się z prędkością

c = 1 μ 0 ε 0 . {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}.}

Prędkość tę, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła.

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Wielkości te nie wprowadzają żadnego nowego sensu fizycznego, są używane głównie z przyczyn historycznych, mogą prowadzić do nieporozumień i błędów. Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 210–212; Purcell 1971 ↓, s. 224, 385–386.

Przypisy

  1. ↑ Maxwella równania, Encyklopedia PWN  .
  2. ↑ Wróblewski 2006 ↓.
  3. ↑ Darrigol 2000 ↓.
  4. ↑ Halliday, Resnick i Walker 2003 ↓, s. 260–262.
  5. ↑ Halliday, Resnick i Walker 2003 ↓, s. 306–314.
  6. ↑ Halliday, Resnick i Walker 2003 ↓, s. 51–52.
  7. ↑ Halliday, Resnick i Walker 2003 ↓, s. 290–291.
  8. ↑ Feynman, Leighton i Sands 1970 ↓, s. 292–293.
  9. ↑ Feynman, Leighton i Sands 1970 ↓, s. 313–316.
  10. ↑ Feynman, Leighton i Sands 1970 ↓, s. 77–79.
  11. ↑ Feynman, Leighton i Sands 1970 ↓, s. 224–225.
  12. ↑ Januszajtis 1991 ↓, s. 324–328.
  13. ↑ Leung 2004 ↓, s. N1-N4.
  14. ↑ Purcell 1971 ↓, s. 308.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Równania różniczkowe
zwyczajne
cząstkowe
metody rozwiązań
powiązane pojęcia
twierdzenia
powiązane nauki
badacze
Kontrola autorytatywna (teoria fizyczna):Encyklopedie internetowe: