Twierdzenie Picarda

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Załóżmy, że ${\displaystyle \Omega \subseteq {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }}$ jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$ jest ciągła na zbiorze ${\displaystyle \Omega }$ i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej ${\displaystyle L}$ mamy, że

${\displaystyle |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leqslant L|y_{1}-y_{2}|}$

ilekroć ${\displaystyle (x,y_{1}),(x,y_{2})\in \Omega .}$

Niech ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \Omega .}$ Wówczas dla pewnego ${\displaystyle \delta >0,}$ zagadnienie początkowe

${\displaystyle y'=f(x,y)}$

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$

ma dokładnie jedno rozwiązanie ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ określone na przedziale ${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).}$

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Niech ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią unormowaną oraz ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times Y}$ będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja ${\displaystyle f\colon D\to Y}$ spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze ${\displaystyle D}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ${\displaystyle (x_{0},u_{0})\in D}$ ma otoczenie, na którym ${\displaystyle f}$ spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Niech ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią Banacha oraz ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times Y}$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon D\to Y}$ jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze ${\displaystyle D,}$ to

• każde rozwiązanie równania ${\displaystyle u'=f(x,u)}$ daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
• każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
• dla każdego punktu ${\displaystyle (x_{0},u_{0})\in D}$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy ${\displaystyle u(x_{0})=u_{0}.}$

Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego^[1]. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.

Niech ${\displaystyle J\subseteq {\mathbb {R} }}$ będzie odcinkiem otwartym, zaś ${\displaystyle \Omega \subseteq {\mathbb {R} }^{n}}$ będą zbiorami otwartymi. Niech ${\displaystyle f\colon J\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in J\times \Omega }$ istnieją zbiory otwarte ${\displaystyle U\subseteq J}$ i ${\displaystyle V\subseteq \Omega }$ takie, że:

${\displaystyle U\subseteq {\text{cl}}\ (U)\subseteq J}$ i ${\displaystyle V\subseteq {\text{cl}}\ (V)\subseteq \Omega ,}$

${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in U\times V,}$

${\displaystyle \exists L>0\ \forall t\in U\ \forall x,y\in V\ \|f(t,x)-f(t,y)\|\leqslant L\|x-y\|.}$

Wówczas dla każdego ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in J\times \Omega }$ istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie ${\displaystyle u\colon I\to \Omega }$ zagadnienia Cauchy’ego:

${\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t)),\\x(t_{0})=x_{0}.\end{cases}}}$

Ponadto maksymalny odcinek ${\displaystyle I=(a,b)}$ istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

${\displaystyle \inf J=a}$   i   ${\displaystyle \sup J=b}$

lub

jeśli   ${\displaystyle a>\inf J,}$   to   ${\displaystyle \lim _{t\to a}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,}$

jeśli   ${\displaystyle b<\sup J,}$   to   ${\displaystyle \lim _{t\to b}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0.}$

• twierdzenie Peana

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193–196.
• Krzysztof Frączek: Równania różniczkowe. . (pol.).

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Picard's Existence Theorem, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).