Równanie różniczkowe Eulera
Wygląd przypnij ukryj
 |
Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji.Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: opisać metodę sprowadzania równania Eulera do liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Równanie różniczkowe Eulera rzędu n – równanie różniczkowe postaci:
a n x n y ( n ) + a n − 1 x n − 1 y ( n − 1 ) . . . + a 1 x y ′ + a 0 y = f ( x ) {\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_{1}xy'+a_{0}y=f(x)\quad {}} dla a n ≠ 0 , {\displaystyle a_{n}\neq 0,}
dla
a
n
≠
0
,
{\displaystyle a_{n}\neq 0,}
gdzie a n , … , {\displaystyle a_{n},\dots ,} a 0 {\displaystyle a_{0}} są stałymi, a równanie jest liniowe względem y {\displaystyle y} i jego pochodnych.
a
0
{\displaystyle a_{0}}
są stałymi, a równanie jest liniowe względem
y
{\displaystyle y}
i jego pochodnych.
Jeżeli f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} to równanie Eulera przyjmuje postać:
a n x n y ( n ) + a n − 1 x n − 1 y ( n − 1 ) . . . + a 1 x y ′ + a 0 y = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_{1}xy'+a_{0}y=0\quad {}} dla a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
to równanie Eulera przyjmuje postać:
dla
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
i nazywamy je równaniem jednorodnym.
Równanie różniczkowe Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem
x = e t {\displaystyle x=e^{t}} d x d t = e t = x {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=e^{t}=x} d t d x = e − t = x − 1 {\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=e^{-t}=x^{-1}}
d
x
d
t
=
e
t
=
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=e^{t}=x}
d
t
d
x
=
e
−
t
=
x
−
1
{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=e^{-t}=x^{-1}}
Dla pierwszego składnika:
x d y d x = x d y d t d t d x = x d y d t x − 1 = d y d t {\displaystyle x{\frac {dy}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}x^{-1}={\frac {dy}{dt}}}
Dla drugiego składnika:
x 2 d 2 y d x 2 = x 2 d d x ( d y d x ) = x 2 d t d x d d t ( d y d t d t d x ) = e 2 t e − t d d t ( d y d t e − t ) = e t ( d 2 y d t 2 e − t − d y d t e − t ) = d 2 y d t 2 − d y d t {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=x^{2}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)=x^{2}{\frac {dt}{dx}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}\right)=e^{2t}e^{-t}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)=e^{t}\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}e^{-t}-{\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}}
Dla pozostałych obliczenia wyglądają analogicznie.
Weźmy równanie
a 2 x 2 y ( 2 ) + a 1 x y ( 1 ) + a 0 y = f ( x ) {\displaystyle a_{2}x^{2}y^{(2)}+a_{1}xy^{(1)}+a_{0}y=f(x)}
Połóżmy
y ( x ) = u ( ln ( | x | ) ) {\displaystyle y(x)=u(\ln(|x|))} a 2 x 2 ( u ( 2 ) ⋅ 1 x 2 − u ( 1 ) ⋅ 1 x 2 ) + a 1 x u ( 1 ) ⋅ 1 x + a 0 u = f ( x ) {\displaystyle a_{2}x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)+a_{1}xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+a_{0}u=f(x)} a 2 u ( 2 ) − a 2 u ( 1 ) + a 1 u ( 1 ) + a 0 u = f ( x ) {\displaystyle a_{2}u^{(2)}-a_{2}u^{(1)}+a_{1}u^{(1)}+a_{0}u=f(x)} a 2 u ( 2 ) + ( a 1 − a 2 ) u ( 1 ) + a 0 u = f ( x ) {\displaystyle a_{2}u^{(2)}+(a_{1}-a_{2})u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}
a
2
x
2
(
u
(
2
)
⋅
1
x
2
−
u
(
1
)
⋅
1
x
2
)
+
a
1
x
u
(
1
)
⋅
1
x
+
a
0
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)+a_{1}xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+a_{0}u=f(x)}
a
2
u
(
2
)
−
a
2
u
(
1
)
+
a
1
u
(
1
)
+
a
0
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}u^{(2)}-a_{2}u^{(1)}+a_{1}u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}
a
2
u
(
2
)
+
(
a
1
−
a
2
)
u
(
1
)
+
a
0
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}u^{(2)}+(a_{1}-a_{2})u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}
A to jest już równanie liniowe o stałych współczynnikach
Znajdujemy pierwiastki równania charakterystycznego, następnie uzmienniamy stałą, rozwiązując układ z macierzą Wrońskiego
Przykład
x 3 y ( 3 ) − x 2 y ( 2 ) − 2 x y ( 1 ) + 6 y = 0 {\displaystyle x^{3}y^{(3)}-x^{2}y^{(2)}-2xy^{(1)}+6y=0} y ( x ) = u ( ln | x | ) {\displaystyle y(x)=u(\ln {|x|})} − u ( 2 ) ⋅ 3 / x 3 x 3 ( u ( 3 ) ⋅ 1 x 3 − u ( 2 ) ⋅ 1 x 3 + u ( 1 ) ⋅ 2 x 3 ) − x 2 ( u ( 2 ) ⋅ 1 x 2 − u ( 1 ) ⋅ 1 x 2 ) − 2 x u ( 1 ) ⋅ 1 x + 6 y = 0 {\displaystyle -u^{(2)}\cdot 3/x^{3}x^{3}\left(u^{(3)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}-u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}+u^{(1)}\cdot {\frac {2}{x^{3}}}\right)-x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)-2xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+6y=0} u ( 3 ) − 3 u ( 2 ) + 2 u ( 1 ) − ( u ( 2 ) − u ( 1 ) ) − 2 u ( 1 ) + 6 u = 0 {\displaystyle u^{(3)}-3u^{(2)}+2u^{(1)}-(u^{(2)}-u^{(1)})-2u^{(1)}+6u=0} u ( 3 ) − 4 u ( 2 ) + u ( 1 ) + 6 u = 0 {\displaystyle u^{(3)}-4u^{(2)}+u^{(1)}+6u=0} λ 3 − 4 λ 2 + λ + 6 = 0 {\displaystyle \lambda ^{3}-4\lambda ^{2}+\lambda +6=0} ( λ + 1 ) ⋅ ( λ − 2 ) ⋅ ( λ − 3 ) = 0 {\displaystyle (\lambda +1)\cdot (\lambda -2)\cdot (\lambda -3)=0} u = C 1 e − x + C 2 e 2 x + C 3 e 3 x {\displaystyle u=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}} y = C 1 ⋅ 1 x + C 2 ⋅ x 2 + C 3 ⋅ x 3 {\displaystyle y=C_{1}\cdot {\frac {1}{x}}+C_{2}\cdot x^{2}+C_{3}\cdot x^{3}} Równania różniczkowe
y
(
x
)
=
u
(
ln
|
x
|
)
{\displaystyle y(x)=u(\ln {|x|})}
−
u
(
2
)
⋅
3
/
x
3
x
3
(
u
(
3
)
⋅
1
x
3
−
u
(
2
)
⋅
1
x
3
+
u
(
1
)
⋅
2
x
3
)
−
x
2
(
u
(
2
)
⋅
1
x
2
−
u
(
1
)
⋅
1
x
2
)
−
2
x
u
(
1
)
⋅
1
x
+
6
y
=
0
{\displaystyle -u^{(2)}\cdot 3/x^{3}x^{3}\left(u^{(3)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}-u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}+u^{(1)}\cdot {\frac {2}{x^{3}}}\right)-x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)-2xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+6y=0}
u
(
3
)
−
3
u
(
2
)
+
2
u
(
1
)
−
(
u
(
2
)
−
u
(
1
)
)
−
2
u
(
1
)
+
6
u
=
0
{\displaystyle u^{(3)}-3u^{(2)}+2u^{(1)}-(u^{(2)}-u^{(1)})-2u^{(1)}+6u=0}
u
(
3
)
−
4
u
(
2
)
+
u
(
1
)
+
6
u
=
0
{\displaystyle u^{(3)}-4u^{(2)}+u^{(1)}+6u=0}
λ
3
−
4
λ
2
+
λ
+
6
=
0
{\displaystyle \lambda ^{3}-4\lambda ^{2}+\lambda +6=0}
(
λ
+
1
)
⋅
(
λ
−
2
)
⋅
(
λ
−
3
)
=
0
{\displaystyle (\lambda +1)\cdot (\lambda -2)\cdot (\lambda -3)=0}
u
=
C
1
e
−
x
+
C
2
e
2
x
+
C
3
e
3
x
{\displaystyle u=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}}
y
=
C
1
⋅
1
x
+
C
2
⋅
x
2
+
C
3
⋅
x
3
{\displaystyle y=C_{1}\cdot {\frac {1}{x}}+C_{2}\cdot x^{2}+C_{3}\cdot x^{3}}
