Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Wygląd przypnij ukryj

Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.

{ − △ u ( x ) = λ u ( x ) , x ∈ Ω ⊆ R n u ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω {\displaystyle {\begin{cases}-\triangle {u(x)}=\lambda {u(x)},&x\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega \end{cases}}}

gdzie λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja u ( x ) ≠ 0 {\displaystyle u(x)\neq 0} funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że u ∈ W 0 1 , 2 . {\displaystyle u\in W_{0}^{1,2}.} Zdefiniujmy operator:

T : L 2 ( Ω ) → W 0 1 , 2 ( Ω ) ⊆ L 2 ( Ω ) {\displaystyle T:L^{2}(\Omega )\to W_{0}^{1,2}(\Omega )\subseteq L^{2}(\Omega )}

następująco:

T ( f ) = u ⇔ − △ u = f , {\displaystyle T(f)=u\Leftrightarrow -\triangle u=f,}

tj. u {\displaystyle u} jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.

Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a

  1. Operator T {\displaystyle T} jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
  2. Operator T {\displaystyle T} jest zwarty.
  3. Operator T {\displaystyle T} jest samosprzężony.

Wartości własne operatora Laplace’a

Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:

  1. Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} są dodatnie, mają skończone krotności, a + ∞ {\displaystyle +\infty } jest punktem skupienia wartości własnych.
  2. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} złożona z funkcji własnych laplasjanu.
Równania różniczkowe
zwyczajne
cząstkowe
metody rozwiązań
powiązane pojęcia
twierdzenia
powiązane nauki
badacze