![]() |
Ten artykuł należy dopracować:→ poprawić styl – powinien być encyklopedyczny, z podręcznikowego na encyklopedyczny. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.
{ − △ u ( x ) = λ u ( x ) , x ∈ Ω ⊆ R n u ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω {\displaystyle {\begin{cases}-\triangle {u(x)}=\lambda {u(x)},&x\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega \end{cases}}}gdzie λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja u ( x ) ≠ 0 {\displaystyle u(x)\neq 0} funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że u ∈ W 0 1 , 2 . {\displaystyle u\in W_{0}^{1,2}.} Zdefiniujmy operator:
T : L 2 ( Ω ) → W 0 1 , 2 ( Ω ) ⊆ L 2 ( Ω ) {\displaystyle T:L^{2}(\Omega )\to W_{0}^{1,2}(\Omega )\subseteq L^{2}(\Omega )} jestnastępująco:
T ( f ) = u ⇔ − △ u = f , {\displaystyle T(f)=u\Leftrightarrow -\triangle u=f,}tj. u {\displaystyle u} słabym rozwiązaniem równania Poissona.
jestZ twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że: