Twierdzenie Peana
Wygląd przypnij ukryjTwierdzenie Peana – twierdzenie o istnieniu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla ciągłego odwzorowania podzbioru I × R n → R n . {\displaystyle I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.} Opublikowane przez Giuseppe Peana w 1886 z błędnym dowodem. W 1890 dowód został przeprowadzony poprawnie przy użyciu metod aproksymacyjnych (zob. metoda Eulera). Obecnie, twierdzenia dowodzi się przy użyciu twierdzenia Schaudera o punkcie stałym i kryterium zwartości Ascoliego-Arzeli.
Opublikowane przez Twierdzenie
Niech I = {\displaystyle I=} i niech f : I × R n → R n . {\displaystyle f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.} Jeżeli istnieje kula k ( η , r ) ⊂ R n {\displaystyle k(\eta ,r)\subset \mathbb {R} ^{n}} taka, że f | I × k ( η , r ) {\displaystyle f|_{I\times k(\eta ,r)}} jest ciągłe, to istnieje α > 0 {\displaystyle \alpha >0} takie, że zagadnienie Cauchy’ego:
{ y ′ = f ( y , x ) y ( τ ) = η {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}y'=f(y,x)\\y(\tau )=\eta \end{array}}\right.}
i niech
f
:
I
×
R
n
→
R
n
.
{\displaystyle f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}
Jeżeli istnieje kula
k
(
η
,
r
)
⊂
R
n
{\displaystyle k(\eta ,r)\subset \mathbb {R} ^{n}}
taka, że
f
|
I
×
k
(
η
,
r
)
{\displaystyle f|_{I\times k(\eta ,r)}}
jest ciągłe, to istnieje
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
takie, że zagadnienie Cauchy’ego:
ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale ( τ − α , τ + α ) . {\displaystyle (\tau -\alpha ,\tau +\alpha ).}
Zobacz też
Bibliografia
- Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce