Grupa okręgu

Ten artykuł od 2024-12 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Grupa okręgu – podgrupa ${\displaystyle \mathbb {T} }$ grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {T} &=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}\\&=\{e^{it}\colon t\in \mathbb {R} \}\end{aligned}}.}$

W grupie ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest ${\displaystyle 1=e^{0}.}$ Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z dwuwymiarowym torusem (2-torusem oznaczanym ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$), a zatem okrąg może być interpretowany jako jednowymiarowy torus, skąd pochodzi oznaczenie ${\displaystyle \mathbb {T} .}$

• Grupa okręgu jest przemienna, ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne.
• Grupa okręgu jest podzielna (iniektywna).
• Grupa okręgu ma naturalną strukturę grupy topologicznej z topologią indukowaną z płaszczyzny zespolonej. Ponieważ okrąg jednostkowy jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, że grupa okręgu jest zwarta.
• Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$^[a].
• Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos t+i\sin t;}$

przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ złożona z ciągłych homomorfizmów do ${\displaystyle \mathbb {T} }$ jest dyskretna. Co więcej

${\displaystyle {\hat {\mathbb {T} }}\cong \mathbb {Z} ,}$

a zatem z dualności Pontriagina także

${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \mathbb {T} .}$

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów analizy harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ jest postaci

${\displaystyle \chi (x)=e^{2\pi ixy}\quad (x\in \mathbb {R} )}$

dla pewnej liczby rzeczywistej ${\displaystyle y.}$ Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$ jest postaci ${\displaystyle \chi (z)=z^{n}}$ dla pewnego ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ W szczególności, grupa dualna do ${\displaystyle \mathbb {T} }$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {Z} }$^[b].

• N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris 1966.
• Luogeng Hua: Starting with the unit circle. Springer, 1981. ISBN 978-1-4613-8138-9. Brak numerów stron w książce