Grupa cykliczna

Grupa cykliczna – grupa generowana przez pojedynczy element nazywany jej generatorem^[1] (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że poprzez cykliczne iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności można uzyskać dowolny element tej grupy; w notacji multiplikatywnej elementy są więc potęgami generatora, a w notacji addytywnej – jego wielokrotnościami.

Grupę cykliczną ${\displaystyle G}$ daje się zatem przedstawić jako

${\displaystyle \langle a\rangle :=\{a^{n}\in G\colon n\in \mathbb {Z} \},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest (pewnym wybranym) generatorem grupy ${\displaystyle G.}$ W szczególności może się zdarzyć, iż ${\displaystyle a^{n}}$ będzie dla pewnego ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ równe elementowi neutralnemu ${\displaystyle e}$ – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: przeliczalnie wiele) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest grupa trywialna zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest grupa Kleina (nazywana również „czwórkową”) rzędu ${\displaystyle 4.}$

Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: skończone i nieskończone grupy cykliczne mają tę samą strukturę co (odpowiednio) grupy addytywne ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (zob. arytmetyka modularna) oraz ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (zob. liczby całkowite). W szczególności stanowią one „budulec” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje grup przemiennych o skończonej liczbie elementów oraz grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów.

Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego (tj. zbiór elementów odwracalnych, czyli niezerowych, z mnożeniem) jest grupą cykliczną; w szczególności grupa multiplikatywna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ pierścienia klas reszt modulo ${\displaystyle p}$ jest cykliczna dla dowolnej liczby pierwszej ${\displaystyle p.}$ Ogólniej, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n=4}$ lub jest postaci ${\displaystyle p^{k}}$ lub ${\displaystyle 2p^{k}}$ dla nieparzystej liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ i liczby naturalnej ${\displaystyle k.}$ Z drugiej strony dowolna grupa rzędu będącego liczbą pierwszą jest cykliczna.

Własności grup cyklicznych leżą u podstaw wielu mechanizmów kryptograficznych, m.in. protokołu wymiany kluczy Diffiego-Hellmana, czy schematu szyfrowania z kluczem publicznym ElGamal (będącego jego rozszerzeniem); oba algorytmy wykorzystują żywotnie prostotę obliczania funkcji wykładniczej w grupach cyklicznych oraz trudność obliczeń w przypadku logarytmu dyskretnego, czyli zagadnienia odwrotnego do wspomnianego.

Z chińskiego twierdzenia o resztach dla grup cyklicznych wynika tożsamość struktur (izomorfizm) grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ oraz grupy iloczynu prostego ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ (podobnie dla grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}^{\times }}$ oraz ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{\times }}$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$). Spostrzeżenie to znajduje zastosowanie w wielu obszarach matematyki stosowanej, również w kryptografii (np. współdzieleniu tajemnicy, implementacjach algorytmu Rivesta-Shamira-Adlemana), czy obliczeniach rozproszonych. Wiele algorytmów kryptograficznych (w tym RSA) zasadza się na trudności rozkładu na czynniki liczby ${\displaystyle n,}$ który umożliwia wgląd w strukturę grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ jako iloczynu prostego grup cyklicznych (por. klasyfikacja skończonych grup przemiennych).

• grupa lokalnie cykliczna
• grupa policykliczna
• grupa quasi-cykliczna

• Paweł Lubowiecki, Struktury algebraiczne cz. II Grupa cykliczna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 .
• James Stuart Milne: Group theory. (ang.).
• The Dog School of Mathematics: An introduction to cyclic groups. (ang.).