Mechanika Hamiltona – przeformułowanie mechaniki klasycznej podane przez Williama Rowana Hamiltona w 1833. Formalizm Hamiltona wychodzi od mechaniki Lagrange’a, sformułowanej przez Josepha Louisa Lagrange w 1788 (która z kolei stanowi przeformułowanie mechaniki klasycznej w postaci podanej przez Newtona).
Mechanika Hamiltona przewiduje to samo, co mechanika klasyczna w postaciach podanych przez Newtona czy Lagrange’a, jednak używa odmiennego formalizmu matematycznego, wprowadzającego więcej abstrakcji. Mechanika Hamiltona może służyć do opisu prostych układów, takich jak odbijająca się piłka, wahadło lub oscylująca struna, której energia zmienia się z kinetycznej w potencjalną i z powrotem. Jednak jej siła ukazuje się w układach bardziej złożonych i dynamicznych, jak orbity planet w mechanice nieba. Im więcej stopni swobody ma układ, tym bardziej skomplikowana jest jego ewolucja. W większości przypadków ruch staje się chaotyczny.
Formalizm mechaniki Hamiltona stał się także podstawą w rozwoju aparatu matematycznego mechaniki kwantowej.
W mechanice klasycznej sformułowanej przez Newtona stan układu złożonego z N {\displaystyle N} II prawie Newtona
d 2 r d t 2 ⋅ m = F {\displaystyle {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}\cdot m={\boldsymbol {F}}} ciał poruszających się w przestrzeni 3-wymiarowej opisuje się, podając położenia i prędkości tych poszczególnych ciał układu w zależności od czasu. Aby wyznaczyć zmianę stanu układu z upływem czasu, zakłada się, że znane są (1) położenia i prędkości poszczególnych części układu w pewnej chwili początkowej, (2) siły działające na poszczególne części układu w poszczególnych chwilach czasu, (3) rozwiązuje się równanie ewolucji układu wyrażone wgdzie:
r = , {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=,} F = {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=} – wektory położenia układu oraz siły działającej na układ, wyrażone we współrzędnych kartezjańskich.Równanie powyższe przedstawia de facto układ 3 N {\displaystyle 3N}
d 2 x i d t 2 ⋅ m i = F x i , i = 1 , … , 3 N . {\displaystyle {\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\cdot m_{i}=F_{x_{i}},\quad i=1,\dots ,3N.} równań różniczkowych 2-go rzędu:W mechanice Hamiltona stan układu opisany jest odmiennie, tj. za pomocą położeń i pędów, które nazywane są zwyczajowo współrzędnymi kanonicznymi q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} współrzędne uogólnione, zaś p = ( p 1 , p 2 , … , p f ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{f})} – wektor pędu układu wyrażony przez pędy uogólnione układu, przy czym liczba współrzędnych f {\displaystyle f} jest równa liczbie stopni swobody układu (i jest równa lub mniejsza niż liczba współrzędnych kartezjańskich 3 N {\displaystyle 3N} ). Zmianę stanu układu otrzymuje się poprzez obliczenie funkcji Hamiltona (hamiltonianu) H = H ( q , p , t ) {\displaystyle H=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)} i wstawienie go do równań Hamiltona
d p d t = − ∂ H ∂ q , {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},} oraz p , {\displaystyle {\boldsymbol {p}},} przy czym q = ( q 1 , q 2 , … , q f ) {\displaystyle {\boldsymbol {q}}=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f})} – wektor położenia układu wyrażony przez d q d t = + ∂ H ∂ p . {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.}Powyższy zapis wektorowy należy rozpisać na poszczególne składowe: de facto mamy tu układ 2 n {\displaystyle 2n}
d p i d t = − ∂ H ∂ q i , i = 1 , … , f , {\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},\quad i=1,\dots ,f,} równań różniczkowych 1-go rzędu: d q i d t = + ∂ H ∂ p i , i = 1 , … , f . {\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad i=1,\dots ,f.}Hamiltonian układu zamkniętego jest sumą energii kinetycznej oraz potencjalnej. W ogólnym przypadku hamiltonian można obliczyć z lagrangianu za pomocą transformacji Legendre’a. Główna motywacja do używania hamiltonianów w miejsce lagrangianów pochodzi od symplektycznej natury układów hamiltonowskich.
Rozważmy najprostszy układ, który składa się z pojedynczej cząstki o masie m {\displaystyle m}
H = T + V , {\displaystyle H=T+V,} poruszającej się w jednym wymiarze w zadanym polu potencjału skalarnego. Hamiltonian układu jest sumą energii kinetycznej T {\displaystyle T} i potencjalnej V {\displaystyle V}przy czym
T = p 2 2 m , V = V ( x ) , {\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}},\quad V=V(x),}gdzie:
q ≡ x {\displaystyle q\equiv x} – współrzędna wektora położenia cząstki, p {\displaystyle p} – współrzędna wektora pędu cząstki, p = m v . {\displaystyle p=mv.}Energia kinetyczna T {\displaystyle T}
d p d t = − ∂ H ∂ x , {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}},} jest tutaj tylko funkcją pędu, zaś potencjalna V {\displaystyle V} jest tylko funkcją położenia. Równania Hamiltona dla tego układu mają postać d x d t = + ∂ H ∂ p . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}}.}Rozważmy ruch ciała w polu grawitacyjnym Ziemi w kierunku pionowym (np. spadek swobodny lub rzut z pewną prędkością początkową). Energia potencjalna ciała ma postać V ( x ) = m g x {\displaystyle V(x)=mgx}
H = p 2 2 m + m g x . {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgx.} (gdzie przyjęliśmy, iż oś x {\displaystyle x} jest skierowana pionowo w górę). Hamiltonian układu ma postać:(1) Z pierwszego równania Hamiltona otrzymamy
d p d t = − m g . {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-mg.}Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:
p ( t ) − p 0 = − m g t , {\displaystyle p(t)-p_{0}=-mgt,}gdzie: p 0 {\displaystyle p_{0}}
– pęd początkowy ciała w chwili t = 0. {\displaystyle t=0.}(2) Z drugiego równania Hamiltona mamy
d x d t = p m . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {p}{m}}.}Całkując to równanie, otrzymamy:
x ( t ) − x 0 = 1 m ∫ 0 t p ( t ) d t , {\displaystyle x(t)-x_{0}={\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}p(t)dt,}gdzie: x 0 {\displaystyle x_{0}}
x ( t ) = x 0 + 1 m ∫ 0 t ( p 0 − m g t ) d t {\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}(p_{0}-mgt)dt} – położenie początkowe ciała w chwili t = 0. {\displaystyle t=0.} Uwzględniając zależność pędu od czasu uzyskaną z 1-go równania, mamy:i ostatecznie otrzymamy
x ( t ) = x 0 + p 0 m t + g t 2 2 . {\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {p_{0}}{m}}t+{\frac {gt^{2}}{2}}.}Jest to znany z mechaniki Newtona wzór na położenie ciała w ruchu ze stałym przyspieszeniem a = g , {\displaystyle a=g,}
z prędkością początkową v 0 = p 0 m {\displaystyle v_{0}={\frac {p_{0}}{m}}} i położeniem początkowym x 0 . {\displaystyle x_{0}.}Z powyższego przykładu widać, że w ramach mechaniki Hamiltona otrzymuje się jako rozwiązania zależności współrzędnych i pędów od czasu (przy czym są to w ogólności współrzędne i pędy uogólnione).
Jeżeli dany jest lagrangian wyrażony przez współrzędne uogólnione q i , {\displaystyle q_{i},} prędkości uogólnione q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}} oraz czas t , {\displaystyle t,} to hamiltonian oblicza się następująco:
Rozważmy wahadło matematyczne. Jego lagrangian ma postać (por. mechanika Lagrange’a):
L ( θ , θ ˙ , t ) = m θ ˙ 2 l 2 2 + m g l cos ( θ ) . {\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},t)={\frac {m{\dot {\theta }}^{2}l^{2}}{2}}+mgl\cos(\theta ).}(1) Pierwsze równanie Hamiltona ma teraz postać
d p θ d t = − ∂ H ∂ θ , {\displaystyle {\frac {dp_{\theta }}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \theta }},}stąd znajdujemy
d p θ d t = − m g l sin ( θ ) . {\displaystyle {\frac {dp_{\theta }}{dt}}=-mgl\sin(\theta ).}(2) Drugie równanie Hamiltona ma teraz postać
d θ d t = + ∂ H ∂ p θ , {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p_{\theta }}},}stąd znajdujemy
d θ d t = p θ m l 2 . {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {p_{\theta }}{ml^{2}}}.}(3) Różniczkując powyższe równanie po czasie obustronnie i wstawiając wyrażenie na pochodną pędu z punktu (1), znajdujemy równanie ruchu wahadła
d 2 θ d t 2 = − g l sin ( θ ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{l}}\sin(\theta ).} (Sposoby rozwiązania tego równania omówiono w artykule wahadło).główne działy fizyki | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
według zjawisk |
| ||||||||||||||||||
według skali |
| ||||||||||||||||||
mechanika teoretyczna |
| ||||||||||||||||||
teoria pola |
| ||||||||||||||||||
interdyscy- plinarne |
| ||||||||||||||||||
inne specjalności |