Kwadrat

Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Kwadrat

Rodzaj	wielokąt foremny
Liczba boków	4
Liczba przekątnych	2
Symbol Schläfliego	{4}
Grupa symetrii	diedralna (D4), 2×4
Pole powierzchni	${\displaystyle a^{2}}$
Obwód	${\displaystyle 4a}$
Kąt wewnętrzny	90°
Własności	wypukły, równoboczny, równokątny
Multimedia w Wikimedia Commons
Hasło w Wikisłowniku
Cytaty w Wikicytatach

Kwadrat (łac. quadratum – „czworobok, kwadrat”) – czworokąt foremny, czyli z przystającymi bokami i kątami wewnętrznymi (a stąd prostymi)^[1]. Można go również scharakteryzować jako:

• prostokąt o przystających bokach (bądź równej długości, bądź też prostokąt równoboczny);
• romb o przystających (bądź prostych) kątach wewnętrznych;
• deltoid o równych bokach i wszystkich kątach prostych;
• trapez prostokątny o wszystkich bokach takiej samej długości.

Dowolne dwa kwadraty są podobne.

Kwadraty są ścianami sześcianu (foremnego) oraz niektórych wielościanów półforemnych, m.in. ośmiościanu ściętego.

Kwadrat tworzy siatkę sześcianu.

Z własności

• czworokątów:
  • suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2π (360°);
• równoległoboków:
  • przeciwległe boki są równoległe,
  • przekątne przecinają się w połowie,
  • punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii;
• prostokątów:
  • wszystkie kąty wewnętrzne są przystające (a stąd proste),
  • przekątne są przystające (a stąd mają równą długość);
• rombów:
  • przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych,
  • przekątne są prostopadłe;

Dodatkowo następujące własności są charakterystyczne dla kwadratów:

• ma cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne (jak w rombie), pozostałe dwie to symetralne boków (jak w prostokącie).
• osie symetrii dzielą go na osiem przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych.

Niech ${\displaystyle a}$ oznacza długość boku pewnego kwadratu, a ${\displaystyle d}$ będzie równe długości jego przekątnej. Prawdziwe są następujące wzory na:

• pole powierzchni,

  ${\displaystyle S=a^{2}={\tfrac {d^{2}}{2}}={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}ad,}$

• obwód,

  ${\displaystyle l=4a,}$

• promień okręgu wpisanego,

  ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}},}$

• promień okręgu opisanego,

  ${\displaystyle R={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}a=r{\sqrt {2}}={\tfrac {d}{2}},}$

• długość boku,

  ${\displaystyle a=2r=R{\sqrt {2}}={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}d,}$

• długość przekątnej,

  ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}$

• kwadrat logiczny
• kwadraty: łaciński, grecko-łaciński (grecki lub Eulera),
• kwadrat magiczny
• kwadratura figury geometrycznej

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Obroty kwadratów, „Delta”, marzec 2013, ISSN 0137-3005  .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Square, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).