Funkcja multiplikatywna

Funkcja multiplikatywna – w teorii liczb funkcję arytmetyczną ${\displaystyle f}$ określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle n}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n).}$

Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n,}$ to funkcję ${\displaystyle f}$ nazywamy całkowicie multiplikatywną.

Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:

• ${\displaystyle \varphi (n){:}}$ funkcja φ Eulera, liczba mniejszych liczb naturalnych od ${\displaystyle n,}$ które są względnie pierwsze z ${\displaystyle n}$ – innymi słowy, rząd grupy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$
• ${\displaystyle \tau (n){:}}$ funkcja τ, liczba dodatnich dzielników liczby ${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle \sigma (n){:}}$ funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby ${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle \mu (n){:}}$ funkcja Möbiusa,
• ${\displaystyle \mathrm {Id} (n){:}}$ funkcja tożsamościowa,
• ${\displaystyle 1(n){:}}$ funkcja stale równa 1,
• ${\displaystyle \varepsilon (n){:}}$ element neutralny splotu Dirichleta, ${\displaystyle \varepsilon (1)=1,}$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=0}$ dla ${\displaystyle n>1.}$

Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej ${\displaystyle f}$ jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:

Jeżeli ${\displaystyle n=\prod \limits _{p}^{}p^{\alpha _{p}(n)}}$ jest rozkładem na liczby pierwsze liczby ${\displaystyle n,}$ to ${\displaystyle f(n)=\prod \limits _{p}^{}f(p^{\alpha _{p}(n)}),}$ a ${\displaystyle f(1)=1.}$

Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci ${\displaystyle p^{\alpha _{p}(n)}}$ są względnie pierwsze. Ponadto ${\displaystyle f(1)f(n)=f(n),}$ ponieważ ${\displaystyle (n,1)=1,}$ z czego wynika druga równość.

Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:

${\displaystyle \mu *1=\varepsilon ;\;{}}$ ${\displaystyle \varphi *1=\mathrm {Id} ;\;{}}$ ${\displaystyle 1*1=\tau ;\;{}}$ ${\displaystyle \mathrm {Id} *1=\sigma ;\;{}}$ ${\displaystyle \varphi *\tau =\sigma ;\;{}}$ ${\displaystyle \sigma *\mu =\mathrm {Id} .}$

• równanie funkcyjne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Function, MathWorld, Wolfram Research  (ang.). .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Number Theoretic Function, MathWorld, Wolfram Research  (ang.). .
• Multiplicative arithmetic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, .