Funkcja addytywna (algebra)

Ten artykuł dotyczy własności funkcji w algebrze i analizie. Zobacz też: addytywność funkcji w teorii liczb, addytywność funkcji zbioru oraz addytywność w fizyce.

Funkcja addytywna – funkcja, która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Niech ${\displaystyle (K,+)}$ oraz ${\displaystyle (L,+)}$ będą grupami abelowymi.

• Powiemy, że funkcja ${\displaystyle f\colon K\to L}$ jest addytywna jeśli

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in K.}$

O addytywnych funkcjach rzeczywistych ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy’ego.

• Jeśli grupa ${\displaystyle (L,+)}$ jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację ${\displaystyle \leqslant }$ to funkcję ${\displaystyle f\colon K\to L}$ nazwiemy podaddytywną jeśli

${\displaystyle f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in K.}$

Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy ${\displaystyle (L,+)}$ jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

• Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji ${\displaystyle f\colon K\to L}$ zachodzi

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}$ dla wszystkich ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in K,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

• Załóżmy, że funkcja addytywna ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ spełnia jeden z następujących warunków:

(a) ${\displaystyle f}$ jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie lub

(b) ${\displaystyle f}$ jest monotoniczna na pewnym przedziale lub

(c) ${\displaystyle f}$ jest ograniczona na pewnym przedziale.

Wówczas ${\displaystyle f(x)=f(1)\cdot x}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ (to znaczy, ${\displaystyle f}$ jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy’ego^[1].

• W 1905, Georg Hamel^[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ które nie są ciągłe.

• twierdzenie Hahna-Banacha