Symbol Legendre’a

Symbol Legendre’a – funkcja ściśle multiplikatywna stosowana w teorii liczb, oznaczana ${\displaystyle (a|p)}$ lub ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$^[1][2][3].

Wprowadzony w 1798 przez Legendre’a^[4]. Jego uogólnieniem jest symbol Jacobiego.

Niech ${\displaystyle p>2}$ będzie liczbą pierwszą. Liczbę ${\displaystyle a}$ niebędącą wielokrotnością ${\displaystyle p}$ nazwiemy resztą kwadratową modulo ${\displaystyle p,}$ jeśli istnieje liczba całkowita ${\displaystyle t}$ taka, że ${\displaystyle a\equiv t^{2}{\pmod {p}}.}$ Fakt ten oznaczymy ${\displaystyle a\mathrm {R} p.}$ Jeśli taka liczba ${\displaystyle t}$ nie istnieje, liczbę ${\displaystyle a}$ nazywamy nieresztą kwadratową modulo ${\displaystyle p}$^[1], w artykule oznaczamy to jako ${\displaystyle a\mathrm {N} p.}$ Wielokrotności liczby ${\displaystyle p}$ nie zaliczamy ani do reszt ani do niereszt^[2].

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{gdy }}a\mathrm {R} p,\\-1&{\text{gdy }}a\mathrm {N} p,\\0&{\text{gdy }}a\equiv 0{\pmod {p}}.\end{cases}}}$

Czasami za dziedzinę funkcji nie przyjmuje się wielokrotności ${\displaystyle p}$^[1][2][3].

• Jeśli ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}},}$ to ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}$^[2].
• Kryterium Eulera jest użyteczne do obliczania wartości symbolu oraz jest używane do dowodzenia innych własności:
  ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$^[1][2][3].
• Symbol Legendre’a jest funkcją ściśle multiplikatywną licznika: ${\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right).}$ Ta własność jest wnioskiem z kryterium Eulera^[1][2][3].
• Najważniejszą własnością jest prawo wzajemności reszt kwadratowych, zwane czasami theorema fundamentale (twierdzenie podstawowe) lub theorema aurerum (twierdzenie złote)^[1][2][5]:
  ${\displaystyle p\neq q\Rightarrow \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$
• Tę własność, będącą wnioskiem z kryterium Eulera, nazywa się I uzupełnieniem prawa wzajemności^[1][2]:
  ${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{gdy }}p\equiv 1{\pmod {4}},\\-1&{\text{gdy }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$
• Istnieje również II uzupełnienie prawa wzajemności^[1]:
  ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{gdy }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\text{gdy }}p\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Tabela przedstawia wartości funkcji dla ${\displaystyle a\leqslant 30}$ i ${\displaystyle 3\leqslant p\leqslant 127}$^[6].

• Kalkulator symbolu Legendre’a
• Legendre symbol (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .