Czym jest funkcja liniowa?

Funkcja liniowa to jeden z podstawowych pojęć w matematyce. Jest to funkcja, której wykres przedstawia prostą linię. Oznacza to, że każdemu argumentowi x przyporządkowana jest stała wartość y.

Jak wygląda wzór funkcji liniowej?

Wzór funkcji liniowej ma postać:

y = a*x + b

Gdzie:

a – współczynnik kierunkowy,
b – wyraz wolny,
x – argument funkcji,
y – wartość funkcji dla danego argumentu x.

Współczynnik kierunkowy to wskazówka, jak szybko rośnie lub maleje wartość funkcji. Jeśli a jest dodatnie, to wykres funkcji będzie miał nachylenie dodatnie, czyli będzie rósł wraz ze wzrostem argumentu x. Natomiast, jeśli a jest ujemne, to wykres funkcji będzie miał nachylenie ujemne, czyli będzie malał wraz ze wzrostem argumentu x.

Wyraz wolny to wartość funkcji dla argumentu x = 0. Oznacza to, że na osi y punkt (0, b) znajduje się na wykresie funkcji.

Jak przedstawić wykres funkcji liniowej?

Wykres funkcji liniowej przedstawia prostą linię na płaszczyźnie kartezjańskiej. Aby to zrobić, należy wybrać kilka wartości argumentu x, obliczyć dla nich wartości funkcji y i nanieść je na płaszczyznę za pomocą odpowiedniej skali.

Na przykład, dla funkcji y = 2x + 1, wybieramy kilka wartości argumentów, np. x = 0, x = 1, x = 2. Następnie, obliczamy dla nich wartości funkcji, czyli:

y = 2*0 + 1 = 1,
y = 2*1 + 1 = 3,
y = 2*2 + 1 = 5.

Te trzy pary współrzędnych (0, 1), (1, 3) i (2, 5) należy nanieść na układ współrzędnych, co da nam wykres funkcji liniowej. Możemy również korzystać z programów komputerowych, które automatycznie rysują wykresy funkcji liniowych.

Jak interpretować wykres funkcji liniowej?

Wykres funkcji liniowej umożliwia łatwe zrozumienie jej własności. Podstawowe informacje, jakie można odczytać z wykresu, to:

nachylenie prostej – jeśli jest pozytywne, to wartość funkcji rośnie wraz z argumentem x, a jeśli jest ujemne, to wartość funkcji maleje wraz z argumentem x,
przecięcie prostej z osią y (wyraz wolny) – wskazuje, jaka jest wartość funkcji dla x = 0,
przecięcie prostej z osią x – wskazuje, gdzie znajduje się punkt, dla którego wartość funkcji wynosi 0.

Przykłady zastosowania funkcji liniowej

Funkcja liniowa znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach życia. Najważniejsze zastosowania to:

w rachunku kosztów – koszt stały może być reprezentowany przez wartość wyrazu wolnego, a koszt zmienny przez wartość współczynnika kierunkowego,
w fizyce – funkcja opisująca ruch jednostajnie przyspieszony jest funkcją liniową,
w ekonomii – przychody firmy mogą być opisane za pomocą funkcji liniowej,
w geodezji – funkcja opisująca nachylenie terenu jest funkcją liniową,
w grafice komputerowej – transformacje 2D wykonywane są za pomocą funkcji liniowych.

Czym różni się funkcja liniowa od funkcji kwadratowej?

Funkcja kwadratowa to funkcja, której wykres przedstawia parabolę. Oznacza to, że każdemu argumentowi x przyporządkowana jest wartość y, która jest równa kwadratowi argumentu x pomnożonemu przez stały współczynnik.

Wzór funkcji kwadratowej ma postać:

y = a*x^2 + b*x + c

Gdzie:

a – współczynnik przy x^2,
b – współczynnik przy x,
c – wyraz wolny.

Główną różnicą między funkcją liniową a kwadratową jest to, że wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, a wykres funkcji liniowej jest prostą linią.

Podsumowanie

Funkcja liniowa to podstawowe pojęcie, z którym spotykamy się w matematyce już w szkole podstawowej. Zrozumienie tej funkcji jest niezbędne w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego. Potrafienie rysować i interpretować wykresy funkcji liniowych jest bardzo przydatne w rachunku kosztów, fizyce czy grafice komputerowej.