Zbiór pusty

Wygląd przypnij ukryj ∅

Zbiór pusty – zbiór niezawierający żadnych elementów; zazwyczaj oznaczany symbolami ∅ , {\displaystyle \varnothing ,} ∅ , {\displaystyle \emptyset ,} rzadziej { } {\displaystyle \{\}} (niegdyś również: 0 lub Λ). Zbiór, który nie jest pusty, tj. taki, który zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym.

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego, a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

Własności

• Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru: ∀ A : ∅ ⊆ A , {\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A,}

bo zgodnie z definicją zachodzi ∀ x : ( x ∈ ∅ ⟹ x ∈ A ) . {\displaystyle \forall x:(x\in \varnothing \implies x\in A).} Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.

• Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A: ∀ A : A ∪ ∅ = A {\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}
• Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu: ∀ A : A ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }
• Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu: ∀ A : A × ∅ = ∅ {\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }
• Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty: ∀ A : ( A ⊆ ∅ ⟹ A = ∅ ) {\displaystyle \forall A:(A\subseteq \varnothing \implies A=\varnothing )}

Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera tylko jeden element, czyli zbiór pusty.

• Moc zbioru pustego wynosi 0: | ∅ | = 0 {\displaystyle \left\vert \varnothing \right\vert =0}
• Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
• Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję f : ∅ → A , {\displaystyle f:\varnothing \to A,} zwaną funkcją pustą.
• Jeżeli F ( x ) {\displaystyle F(x)} jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że: ∀ x ∈ ∅ : ( F ( x ) ∧ ¬ F ( x ) ) {\displaystyle \forall x\in \varnothing :(F(x)\land \lnot F(x))}
• Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej F ( x ) {\displaystyle F(x)} i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek: ⟹ A = ∅ {\displaystyle \implies A=\varnothing }
• ∅ ≠ { ∅ } ≠ { { ∅ } } {\displaystyle \varnothing \neq \{\varnothing \}\neq \{\{\varnothing \}\}} etc.

Zobacz też

• zbiór jednoelementowy

Przypisy

1. ↑ zbiór pusty, Encyklopedia PWN  .
2. ↑ RomanR. Sikorski RomanR., Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna, tom 28, Warszawa 1972, s. 12 .
3. ↑ AndrzejA. Grzegorczyk AndrzejA., Zarys logiki matematycznej, t. 20, Warszawa 1973, s. 35 .
4. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Empty Set , mathworld.wolfram.com   (ang.).strona główna serwisu
5. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Empty Set , mathworld.wolfram.com   (ang.).strona główna serwisu

Bibliografia

• Algebra zbiorów. § 3. Inkluzje. Zbiór pusty, KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria mnogości, t. 27, Warszawa-Wrocław 1952 (Monografie matematyczne), s. 8–10  .
• AntoniA. Wiweger AntoniA., Kłopoty ze zbiorem pustym, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II. Wiadomości Matematyczne”, 11 (2), 1970, s. 187–199 .

Encyklopedia internetowa (zbiór):

• DSDE: Ø_-_den_tomme_mængde