Zasada zachowania momentu pędu

Wygląd przypnij ukryj

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji.Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w mechanice.

Treść zasady:

Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

co można zapisać wzorem

const ⁡ L → {\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}}

\operatorname {const} {\vec {L}}

lub

d L → d t = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=0,}

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=0,

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły M {\displaystyle M} $M$

d L → d t = M → . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}.}

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}.

Konsekwencje

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

L → = I ω → {\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}

{\vec {L}}=I{\vec {\omega }}

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ω {\displaystyle \omega } $\omega$ rośnie, gdy maleje moment bezwładności I . {\displaystyle I.} $I.$

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Dowód poprawności

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu N {\displaystyle N} $N$ cząstek można zapisać

L → = ∑ i = 1 N r i → × ( m i r i → ˙ ) . {\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).}

{\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

d L → d t = ∑ i = 1 N r i → ˙ × ( m i r i → ˙ ) + ∑ i = 1 N r i → × ( m i r i → ¨ ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).}

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).

Ponieważ iloczyn wektorowy r i → ˙ × r i → ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0} ${\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0$ oraz m i r i → ¨ = F i → , {\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},} $m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},$ to pozostaje tylko obliczyć iloczyn r i → × F i → . {\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.} ${\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.$

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony F → i j {\displaystyle {\vec {F}}_{ij}} ${\vec {F}}_{ij}$ ) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

∑ i = 1 N r i → × F i → = ∑ i = 1 N ( r i → × ( ∑ i ≠ j N F i j → + F i → ′ ) ) = ∑ i = 1 N r → i × F → i ′ . {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.}

\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.

Ponieważ

F i j → = − F j i → , {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},}

{\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},

r i → × F i j → = − r j → × F j i → , {\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},}

{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},

a dla każdej siły

F i j → {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}}

{\vec {F_{ij}}}

występuje siła

F j i → . {\displaystyle {\vec {F_{ji}}}.}

{\vec {F_{ji}}}.

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

d L → d t = ∑ i = 1 N r i → × F i → ′ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.}

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.

Jeżeli układ jest odosobniony, to

F → i ′ = 0 , {\displaystyle {\vec {F}}_{i}'=0,}

{\vec {F}}_{i}'=0,

czyli

const ⁡ L → . {\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}.}

\operatorname {const} {\vec {L}}.

Zobacz też

zasada zachowania pędu

Zasady zachowania w fizyce

podstawowe
zasady zachowania

ścisłe	pędu (pęd) momentu pędu (moment pędu, kręt) energii (energia) ładunku (ładunek elektryczny) liczby leptonowej liczby barionowej
przybliżone	masy (masa)

konsekwencje
i szczególne postacie

powiązane tematy

uczeni

Encyklopedie internetowe (prawo zachowania):

Britannica: science/conservation-of-angular-momentum