W następnym artykule szczegółowo zbadamy temat Wielomiany Legendre’a , o którym wiele się mówiło, ale którego prawdziwa głębia może nie być znana. Wielomiany Legendre’a to temat, który przykuł uwagę zarówno ekspertów, jak i hobbystów i jest szeroko dyskutowany w różnych kręgach. Od swoich początków po znaczenie we współczesnym społeczeństwie Wielomiany Legendre’a był przedmiotem debaty i analiz. W tym artykule zagłębimy się w różne aspekty związane z Wielomiany Legendre’a , od jego wpływu na kulturę popularną po wpływ na politykę i gospodarkę. Dodatkowo sprawdzimy, jak Wielomiany Legendre’a ewoluował na przestrzeni czasu i jakie są jego perspektywy na przyszłość.
Wielomiany Legendre’a (nieunormowane) – wielomiany określone wzorem (Rodriguesa)
P
n
=
1
2
n
n
!
d
n
d
x
n
(
x
2
−
1
)
n
(
n
=
0
,
1
,
…
)
.
{\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,\dots ).}
Można je również zapisać w jawnej postaci
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
i
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
i
(
n
i
)
(
2
n
−
2
i
n
)
x
n
−
2
i
.
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.}
Ich nazwa pochodzi od nazwiska Adriena-Marie Legendre’a .
Wielomiany Legendre’a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:
G
(
x
,
t
)
=
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
−
1
/
2
.
{\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}.}
Zachodzi wzór:
G
(
x
,
t
)
=
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
−
1
/
2
=
∑
l
=
0
∞
P
l
(
x
)
t
l
.
{\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)t^{l}.}
P
n
+
1
(
x
)
=
2
n
+
1
n
+
1
x
P
n
(
x
)
−
n
n
+
1
P
n
−
1
(
x
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
.
{\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots ).}
ortogonalność z wagą
p
(
x
)
=
1
{\displaystyle p(x)=1}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle }
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
,
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}
{
n
+
1
2
P
n
:
n
∈
N
}
{\displaystyle \{{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}P_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}
Wielomiany Legendre’a
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
n
=
0
,
…
,
5
{\displaystyle n=0,\dots ,5}
Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre’a:
P
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}(x)=1}
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{1}(x)=x}
P
2
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle P_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)}
P
3
(
x
)
=
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}
P
4
(
x
)
=
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}
P
5
(
x
)
=
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle P_{5}(x)={\tfrac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}
P
6
(
x
)
=
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
{\displaystyle P_{6}(x)={\tfrac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)}
P
7
(
x
)
=
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
{\displaystyle P_{7}(x)={\tfrac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)}
P
8
(
x
)
=
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
{\displaystyle P_{8}(x)={\tfrac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)}
P
9
(
x
)
=
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
{\displaystyle P_{9}(x)={\tfrac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)}
P
10
(
x
)
=
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
{\displaystyle P_{10}(x)={\tfrac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)}
P
11
(
x
)
=
1
256
(
88179
x
11
−
230945
x
9
+
218790
x
7
−
90090
x
5
+
15015
x
3
−
693
x
)
{\displaystyle P_{11}(x)={\tfrac {1}{256}}(88179x^{11}-230945x^{9}+218790x^{7}-90090x^{5}+15015x^{3}-693x)}
Z wielomianami Legendre’a związane są stowarzyszone funkcje Legendre’a
Bibliografia
