Mnożenie przez skalar

Mnożenie przez skalar – jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.

Intuicją geometryczną stojącą za tym działaniem jest mnożenie wektora rzeczywistej przestrzeni euklidesowej przez dodatnią liczbę rzeczywistą, które polega na pomnożeniu długości tego wektora przez tę liczbę. Słowo „skalar”^[1] urobiono od czynności: skalar służy do skalowania, czyli „rozciągania” czy „ściskania” (tzn. jednokładnościowego przekształcania wektorów o wartość bezwzględną skalara z zachowaniem zwrotu, tzn. porządku, gdy jest on dodatni i odwróceniu w przeciwnym przypadku). W ogólności jednak interpretacja ta może być zwodnicza, np. w ciałach skończonych, które nie są uporządkowane liniowo (przez brak porządku w ciele nie można mówić o „powiększaniu” lub „zmniejszaniu” długości wektorów).

 Osobne artykuły: przestrzeń liniowa i ciało.

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K;}$ elementy przestrzeni nazywane będą wektorami (i oznaczane pismem pogrubionym), a elementy ciała nazywane będą skalarami (i oznaczane pismem pochyłym). Działanie mnożenia wektora z ${\displaystyle V}$ przez skalar z ${\displaystyle K}$ definiuje się jako funkcję ${\displaystyle K\times V\to V,}$ która przekształca parę skalar-wektor ${\displaystyle (c,\mathbf {v} )}$ w wektor ${\displaystyle c\mathbf {v} }$ zgodnie z poniższymi aksjomatami:

• lewo- i prawostronna rozdzielność względem dodawania wektorów,

  ${\displaystyle (c+d)\mathbf {v} =c\mathbf {v+} d\mathbf {v} ,}$

  ${\displaystyle c(\mathbf {v+w} )=c\mathbf {v+} c\mathbf {w} ;}$

• łączność,

  ${\displaystyle (cd)\mathbf {v} =c(d\mathbf {v} );}$

• zgodność z elementem neutralnym ${\displaystyle 1}$ mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”),

  ${\displaystyle 1\mathbf {v} =\mathbf {v} .}$

Z powyższych aksjomatów wynikają m.in. następujące własności:

• zgodność elementów neutralnych ciała ${\displaystyle 0}$ i przestrzeni liniowej ${\displaystyle \mathbf {0} }$ (zob. wektor zerowy),

  ${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} }$

• zgodność elementów przeciwnych przestrzeni liniowej i ciała („zmiana zwrotu”),

  ${\displaystyle (-1)\mathbf {v} =\mathbf {-v} .}$

W szczególnym przypadku za ${\displaystyle V}$ można wziąć samo ${\displaystyle K}$ i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią współrzędnych ${\displaystyle K^{n},}$ to mnożenie przez skalar jest określone po współrzędnych. Macierze ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. mnożenie macierzy przez skalar. Jeśli ${\displaystyle K}$ oznacza ciało liczb zespolonych, to mnożenie przez skalar jest złożeniem jednokładności o współczynniku równym modułowi i obrotu wektora o kąt równy argumentowi tego skalara (zob. płaszczyzna zespolona).

W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako zewnętrzne działanie dwuargumentowe lub działanie ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli ${\displaystyle K}$ jest pierścieniem przemiennym; wówczas konstrukcję ${\displaystyle V}$ analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się modułem nad ${\displaystyle K.}$ Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: ${\displaystyle K}$ może być półpierścieniem (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli ${\displaystyle K}$ jest strukturą nieprzemienną, to należy zwracać uwagę na kolejność mnożonych elementów.

Struktury algebraiczne, w których zdefiniowano pewien rodzaj mnożenia przez skalar, to m.in. algebry nad ciałem, algebry nad pierścieniem, pierścienie grupowe, czy algebry grupowe (tj. przestrzenie liniowe i moduły wolne z mnożeniem elementów; być może przemiennym). Wiele z powyższych przypadków obejmuje pojęcie grupy z operatorami