Funkcja Weierstrassa

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany^[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie^[2]. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd^[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował^[4]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

W oryginalnej publikacji^[5], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast ${\displaystyle b}$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .}$

Gdy ${\displaystyle ab>1,}$ to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

${\displaystyle 2+{\frac {\log a}{\log b}}.}$

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ${\displaystyle ab>1}$) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}\,\;\;(z\in \mathbb {C} ).}$

Zobacz multimedia związane z tematem: Funkcja Weierstrassa

• funkcja eliptyczna Weierstrassa
• funkcja Riemanna

• O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), s. 15-20, 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne. . 
• G.H. Hardy. Weierstrass’s non-differentiable function. „Transactions of the American Mathematical Society”. 17, s. 301–325, 1916. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1. 

• Paweł Mleczko, Tam i z powrotem, czyli o funkcji ciągłej niemającej stycznej do swojego wykresu w żadnym punkcie, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 14 grudnia 2016 .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Weierstrass Function, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).