Dysjunkcyjna postać normalna

Dysjunkcyjna postać normalna (ang. disjunctive normal form, DNF) formuły logicznej – formuła zapisana w postaci dysjunkcji (alternatywy) klauzul dualnych.

Na przykład dysjunkcyjną postacią normalną wyrażenia ${\displaystyle (a\lor b)\land c}$ jest ${\displaystyle (a\land c)\lor (b\land c).}$

Każde wyrażenie logiczne ma dysjunkcyjną postać normalną.

Formuła φ jest w dysjunktywnej postaci normalnej jeśli jest ona alternatywą klauzul, z których każda jest koniunkcją literałów, tzn. ma następującą postać

${\displaystyle (p_{11}\wedge p_{12}\wedge ...\wedge p_{1k_{1}})\vee (p_{21}\wedge p_{22}\wedge ...\wedge p_{2k_{2}})\vee ...\vee (p_{n1}\wedge p_{n2}\wedge ...\wedge p_{nk_{n}}),}$

gdzie każde ${\displaystyle p_{ij}}$ jest literałem.

Problem znajdowania wartościowania spełniającego formuły w postaci DNF jest problemem łatwym, tzn. istnieje algorytm wielomianowy rozwiązujący ów problem. Jeśli bowiem jest choć jedna klauzula dualna, która nie zawiera ani fałszu ani jednocześnie pewnej zmiennej i jej negacji, możemy wszystkim wystąpieniom pozytywnym przyporządkować prawdę, negatywnym zaś fałsz, przez co ta klauzula dualna będzie spełniona, a zatem i cały DNF.

Jeśli natomiast każda klauzula dualna zawiera albo fałsz (a więc jest fałszywa), albo jednocześnie zmienną i jej zaprzeczenie (z których przynajmniej jedno musi być fałszywe), to oznacza to, że nie jest ona spełnialna.

Przykład algorytmu wielomianowego znajdującego wartościowanie formuły podanej w postaci DNF podany jest poniżej.

Podobny problem, znajdowania wartościowania formuły w koniunkcyjnej postaci normalnej jest NP-zupełny.

Przyjmijmy następujące założenia co do wejścia i wyjścia algorytmu:

• formuła φ podana na wejściu jest zbiorem klauzul,
• każda klauzula jest zbiorem literałów,
• algorytm zwraca zbiór zmiennych, którym należy nadać wartość true (pozostałym zmiennym należy nadać wartość false) aby formuła φ była spełniona jeśli formuła jest spełnialna, w przeciwnym przypadku zwraca specjalną wartość nil.

foreach ${\displaystyle C_{i}\in \phi }$
begin
    ok := true;
    foreach ${\displaystyle a_{j}\in C_{i}}$
        foreach ${\displaystyle b_{k}\in C_{i}}$
            if ${\displaystyle a_{j}=\neg b_{k}}$ then ok := false;
    if ok then
    begin
        T := ${\displaystyle \emptyset }$;
        foreach ${\displaystyle a_{j}\in C_{i}}$
            if aj jest niezanegowaną zmienną xl then T := ${\displaystyle T\cup \{x_{l}\}}$;
        return T;
    end
end
return nil;

Algorytm dla każdej klauzuli sprawdza czy jest ona niesprzeczna. Gdy znajdzie niesprzeczną klauzulę zwraca zbiór zmiennych, które w niej występują jako literały bez negacji. Można łatwo sprawdzić, że algorytm ten ma złożoność czasową nie gorszą niż O(n²), gdzie n to liczba literałów w formule φ.

Algorytm ten nie może posłużyć do rozwiązania NP-zupełnego problemu spełnialnosci formuł w postaci CNF ponieważ w ogólnym przypadku rozmiar formuły przy przekształcaniu jej z postaci CNF do DNF może wzrosnąć wykładniczo.

• koniunkcyjna postać normalna
• logika
• postać normalna
• prawa De Morgana
• problem NP-zupełny
• problem spełnialności