Aksjomaty oddzielania

Wygląd przypnij ukryj

Ten artykuł od 2012-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji: oddzielić T-aksjomaty od zwyczajowych (por. schemat).Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Diagram Hassego dla aksjomatów oddzielania; aksjomaty wyżej są silniejsze, a linia oznacza wynikanie.

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

Ciąg główny aksjomatów oddzielania

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane T i . {\displaystyle T_{i}.} $T_{i}.$ Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy i {\displaystyle i} $i$ wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu i {\displaystyle i} $i$ wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów T i {\displaystyle T_{i}} $T_{i}$ jest ustalone.

Niech τ {\displaystyle \tau } $\tau$ będzie topologią na zbiorze X . {\displaystyle X.} $X.$ Powiemy, że przestrzeń topologiczna ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} $(X,\tau )$ spełnia aksjomat:

T0, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X}

x,y\in X

istnieje zbiór otwarty w X , {\displaystyle X,}

X,

który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;

T1, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X}

x,y\in X

istnieje zbiór otwarty U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X}

U\subseteq X

taki, że x ∈ U , {\displaystyle x\in U,}

x\in U,

ale y ∉ U ; {\displaystyle y\notin U;}

y\notin U;

T2, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X}

x,y\in X

istnieją rozłączne zbiory otwarte U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X}

U\subseteq X

i V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X}

V\subseteq X

takie, że x ∈ U {\displaystyle x\in U}

x\in U

i y ∈ V ; {\displaystyle y\in V;}

y\in V;

T3, jeśli

X {\displaystyle X}

X

spełnia aksjomat T 1 {\displaystyle T_{1}}

T_{1}

i dla każdego zbioru domkniętego F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X}

F\subseteq X

i dowolnego punktu x ∈ X ∖ F {\displaystyle x\in X\setminus F}

x\in X\setminus F

można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U , V ⊆ X {\displaystyle U,V\subseteq X}

U,V\subseteq X

takie, że x ∈ U {\displaystyle x\in U}

x\in U

i F ⊆ V ; {\displaystyle F\subseteq V;}

F\subseteq V;

T3 1/2, jeśli

X {\displaystyle X}

X

spełnia aksjomat T 1 {\displaystyle T_{1}}

T_{1}

i dla każdego zbioru domkniętego F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X}

F\subseteq X

i dowolnego punktu x ∈ X ∖ F {\displaystyle x\in X\setminus F}

x\in X\setminus F

można znaleźć funkcję ciągłą f : X ⟶ {\displaystyle f:X\longrightarrow }

f:X\longrightarrow

taką, że f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0}

f(x)=0

i f ( y ) = 1 {\displaystyle f(y)=1}

f(y)=1

dla wszystkich punktów y ∈ F ; {\displaystyle y\in F;}

y\in F;

T4, jeśli

X {\displaystyle X}

X

spełnia aksjomat T 1 {\displaystyle T_{1}}

T_{1}

i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych E , F ⊆ X {\displaystyle E,F\subseteq X}

E,F\subseteq X

(czyli E ∩ F = ∅ {\displaystyle E\cap F=\emptyset }

E\cap F=\emptyset

) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U , V ⊆ X {\displaystyle U,V\subseteq X}

U,V\subseteq X

takie, że E ⊆ U {\displaystyle E\subseteq U}

E\subseteq U

i F ⊆ V ; {\displaystyle F\subseteq V;}

F\subseteq V;

T5, jeśli

każda podprzestrzeń przestrzeni X {\displaystyle X}

X

spełnia aksjomat T 4 ; {\displaystyle T_{4};}

T_{4};

T6, jeśli

X {\displaystyle X}

X

spełnia aksjomat T 4 {\displaystyle T_{4}}

T_{4}

i każdy domknięty podzbiór X {\displaystyle X}

X

jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat T 0 {\displaystyle T_{0}} $T_{0}$ ” mówimy po prostu, że jest T 0 . {\displaystyle T_{0}.} $T_{0}.$ Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

Własności i przykłady

Każda przestrzeń metryczna jest T 6 . {\displaystyle T_{6}.} $T_{6}.$
Zachodzą następujące implikacje:

T 6 ⇒ T 5 ⇒ T 4 ⇒ T 3 1 2 ⇒ T 3 ⇒ T 2 ⇒ T 1 ⇒ T 0 , {\displaystyle T_{6}\Rightarrow T_{5}\Rightarrow T_{4}\Rightarrow T_{3{\frac {1}{2}}}\Rightarrow T_{3}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0},} $T_{6}\Rightarrow T_{5}\Rightarrow T_{4}\Rightarrow T_{3{\frac {1}{2}}}\Rightarrow T_{3}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0},$

gdzie T i ⇒ T j {\displaystyle T_{i}\Rightarrow T_{j}} $T_{i}\Rightarrow T_{j}$ należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat T i {\displaystyle T_{i}} $T_{i}$ spełnia także aksjomat T j {\displaystyle T_{j}} $T_{j}$ . Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

Aksjomaty T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3 1 2 , T 5 , T 6 {\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}},T_{5},T_{6}} $T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}},T_{5},T_{6}$ są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność T 4 {\displaystyle T_{4}} $T_{4}$ nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu T 5 , {\displaystyle T_{5},} $T_{5},$ czyli dziedzicznej normalności.
Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności T 5 , T 6 {\displaystyle T_{5},T_{6}} $T_{5},T_{6}$ są zaliczane do aksjomatów oddzielania: