Aksjomaty oddzielania

Ten artykuł od 2012-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji: oddzielić T-aksjomaty od zwyczajowych (por. schemat).

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T₂ (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane ${\displaystyle T_{i}.}$ Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy ${\displaystyle i}$ wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu ${\displaystyle i}$ wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów ${\displaystyle T_{i}}$ jest ustalone.

Niech ${\displaystyle \tau }$ będzie topologią na zbiorze ${\displaystyle X.}$ Powiemy, że przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (X,\tau )}$ spełnia aksjomat:

• T₀, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów ${\displaystyle x,y\in X}$ istnieje zbiór otwarty w ${\displaystyle X,}$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;

• T₁, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów ${\displaystyle x,y\in X}$ istnieje zbiór otwarty ${\displaystyle U\subseteq X}$ taki, że ${\displaystyle x\in U,}$ ale ${\displaystyle y\notin U;}$

• T₂, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów ${\displaystyle x,y\in X}$ istnieją rozłączne zbiory otwarte ${\displaystyle U\subseteq X}$ i ${\displaystyle V\subseteq X}$ takie, że ${\displaystyle x\in U}$ i ${\displaystyle y\in V;}$

• T₃, jeśli

${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{1}}$ i dla każdego zbioru domkniętego ${\displaystyle F\subseteq X}$ i dowolnego punktu ${\displaystyle x\in X\setminus F}$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ takie, że ${\displaystyle x\in U}$ i ${\displaystyle F\subseteq V;}$

• T_{3 1/2}, jeśli

${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{1}}$ i dla każdego zbioru domkniętego ${\displaystyle F\subseteq X}$ i dowolnego punktu ${\displaystyle x\in X\setminus F}$ można znaleźć funkcję ciągłą ${\displaystyle f:X\longrightarrow }$ taką, że ${\displaystyle f(x)=0}$ i ${\displaystyle f(y)=1}$ dla wszystkich punktów ${\displaystyle y\in F;}$

• T₄, jeśli

${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{1}}$ i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych ${\displaystyle E,F\subseteq X}$ (czyli ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ takie, że ${\displaystyle E\subseteq U}$ i ${\displaystyle F\subseteq V;}$

• T₅, jeśli

każda podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{4};}$

• T₆, jeśli

${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{4}}$ i każdy domknięty podzbiór ${\displaystyle X}$ jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{0}}$” mówimy po prostu, że jest ${\displaystyle T_{0}.}$ Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

• Każda przestrzeń metryczna jest ${\displaystyle T_{6}.}$
• Zachodzą następujące implikacje:

${\displaystyle T_{6}\Rightarrow T_{5}\Rightarrow T_{4}\Rightarrow T_{3{\frac {1}{2}}}\Rightarrow T_{3}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0},}$

gdzie ${\displaystyle T_{i}\Rightarrow T_{j}}$ należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat ${\displaystyle T_{i}}$ spełnia także aksjomat ${\displaystyle T_{j}}$. Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

• Aksjomaty ${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}},T_{5},T_{6}}$ są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność ${\displaystyle T_{4}}$ nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu ${\displaystyle T_{5},}$ czyli dziedzicznej normalności.
• Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności ${\displaystyle T_{5},T_{6}}$ są zaliczane do aksjomatów oddzielania:

Przestrzeń T₁ ${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{5}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ takich, że ${\displaystyle A\cap {\rm {cl}}(B)=\emptyset ={\rm {cl}}(A)\cap B}$ istnieją zbiory otwarte ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ takie, że ${\displaystyle A\subseteq U,}$ ${\displaystyle B\subseteq V}$ i ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$

Przestrzeń T₁ ${\displaystyle X}$ spełnia aksjomat ${\displaystyle T_{6}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ istnieje funkcja ciągła ${\displaystyle f:X\longrightarrow }$ taka, że ${\displaystyle f^{-1}=A}$ i ${\displaystyle f^{-1}=B.}$

• przestrzeń T₀
• przestrzeń T₁
• przestrzeń T₂
• przestrzeń T₃
• przestrzeń T_{3 1/2}
• przestrzeń T₄
• przestrzenie T₅ i T₆